Diagonalisasi Ortogonal

1. Permasalahan Diagonalisasi Ortogonal

Diberikan sebuah matriks A berukuran n × n, apakah terdapat matriks ortogonal P sedemikian sehingga P⁻¹AP = D adalah matriks diagonal? Jika ada matriks seperti itu, maka A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal dan P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Sebuah matriks persegi 𝐴 dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika terdapat sebuah matriks 𝑃 yang yang orthogonal sehingga 𝑃⁻¹𝐴𝑃 adalah sebuah matriks diagonal.

Untuk masalah terakhir ini, kita memiliki dua pertanyaan yang perlu dipertimbangkan:

• Matriks mana saja yang dapat didiagonalisasi secara ortogonal?

• Bagaimana cara kita menemukan matriks ortogonal untuk melakukan diagonalisasi?

Mengenai pertanyaan pertama, kita perhatikan bahwa tidak ada harapan untuk mendiagonalisasi secara ortogonal sebuah matriks A kecuali jika A simetris (yaitu, A = Aᵀ). Untuk melihat mengapa demikian, misalkan

P⁻¹AP = D 

di mana P adalah matriks ortogonal dan D adalah matriks diagonal. Karena P ortogonal, PPᵀ = PᵀP = I, sehingga dapat ditulis sebagai

A = PDPᵀ 

Karena D adalah matriks diagonal, kita memiliki D = Dᵀ. Oleh karena itu, dengan mentranspos kedua ruas, kita mendapatkan

Aᵀ = (PDPᵀ)ᵀ = (Pᵀ)ᵀDᵀPᵀ = PDPᵀ = A

Jadi, agar A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, A harus simetris.

2. Kondisi Diagonalisabilitas Ortogonal

Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛 maka pernyataan berikut ekivalen:

(a) 𝐴 dapat didiagonalisasi secara orthogonal

(b) 𝐴 memiliki himpunan vektor eigen yang ortonormal

(c) 𝐴 simetrik

3. Matriks Simetris

Jika 𝐴 adalah matriks simetris, maka

(a) Nilai eigen dari 𝐴 semuanya berupa bilangan real

(b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling orthogonal

4. Prosedur Mendiagonalisasi secara Orthogonal Matriks Simetris

1. Tentukan basis untuk setiap ruang eigen dari 𝐴

2. Terapkan proses Gram-Schmidt pada masing-masing basis untuk memperoleh basis ortonormal untuk setiap ruang eigen

3. Susun matriks 𝑃 yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor-vektor basis hasil dari langkah 2

4. 𝑃 matriks ortogonal sehingga 𝑃⁻¹ = 𝑃ᵀ

5. Periksa 𝑃⁻¹𝐴𝑃

contoh:

Tentukan matriks ortogonal P yang mendiagonalisasi

determinan 𝜆𝐼 − 𝐴 adalah

sehingga nilai 𝜆 adalah 𝜆 = −1 ∨ 𝜆 = 5

Untuk 𝜆 = −1 terdapat 2 vektor basis ruang eigen, yaitu

Dengan proses Gram-Schmidt diperoleh vektor eigen ortonormal berikut:

Untuk 𝜆 = 5 terdapat 1 vektor basis ruang eigen, yaitu

Dengan proses Gram-Schmidt, diperoleh:

Susun vektor-vektor kolom ke dalam matriks P

𝑃 matriks ortogonal, sehingga 

Cek hasil dari 𝑃⁻¹𝐴𝑃

𝑃⁻¹𝐴𝑃 menghasilkan matriks diagonal.