Kedudukan Bidang dan Bola
1. Kedudukan Bidang dan Bola
Misal diberikan bidang V dan bola s yang berpusat di M dan berjari-jari r, misal jarak M ke V adalah d, kemungkinan hubungannya adalah:
(a) V memotong s, d < r
(b) V menyinggung s, d = r
(c) V dan s saling asing, d > r
2. Bidang dan Bola Berpotongan
Misal bidang V dan bola s berpotongan, perpotongannya membentuk lingkaran. Misal bola s berpusat di M, berikut cara untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:
• Untuk menentukan pusat lingkaran, buat garis g melalui M tegak lurus V, pusat lingkaran adalah titik potong garis g dan bidang V.
• Sedangkan jari-jari lingkaran, dapat ditentukan menggunakan rumus Pythagoras. Kuadrat jari-jari lingkaran sama dengan kuadrat jari-jari bola dikurangi kuadrat jarak M ke V.
Contoh:
Bagaimana kedudukan bola S: x² + y² + z² + 2x + 4y + 4z – 16 = 0 dan bidang V: x + 2y + 2z = 0?. Bila berpotongan, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran perpotongannya!
• Pusat lingkaran potong
Pusat bola adalah M(–½.2, –½.4, –½.4) = (–1, –2, –2)
Buat garis melalui M tegak lurus V
g: (x, y, z) = (–1, –2, –2) + t(1, 2, 2), masukkan ke persamaan bidang V
1(–1 + t) + 2(–2 + 2t) + 2(–2 + 2t) = 0
–9 + 9t = 0
t = 1, masukkan ke persamaan garis g
(x, y, z) = (–1, –2, –2) + 1(1, 2, 2) = (0, 0, 0)
Lingkaran berpusat di (0, 0, 0)
• Jari-jari lingkaran potong
Kuadrat jari-jari bola = ¼.2² + ¼.4² + ¼.4² + 16 = 25
Kuadrat jarak dari M ke V = (0 + 1)² + (0 + 2)² + (0 + 2)² = 9
Kuadrat jari-jari lingkaran = 25 – 9 = 16
Jari-jari lingkaran tersebut adalah 4.
3. Bidang Singgung Bola
Contoh:
Misalkan diberikan bola s: x² + y² + z² + 2x + 4y + 2z + 2 = 0. Tentukan persamaan bidang singgung dititik P(–1, –2, 1)
Bola s berpusat di M(–½.2, –½.4, –½.2) = (–1, –2, –1)
MP = (–1 + 1, –2 + 2, 1 + 1) = (0, 0, 2), dapat disederhanakan menjadi (0, 0, 1)
Buat bidang V melalui P tegak lurus MP
V: 0(x + 1) + 0(y + 2) + 1(z – 1) = 0
V: z – 1 = 0
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan persamaan bola yang berpusat di O(0, 0, 0) dan menyinggung garis 2x + 2 = y + 2 = z + 3.
• Persamaan garis g dalam parameter g: (x, y, z) = (–2, –2, –3) + t(1, 2, 2)
• Buat bidang V melalui O tegaklurus g
V: x + 2y + 2z = 0, potongkan dengan g
–1 + t + 2(–2 + 2t) + 2(–3 + 2t) = 0
9t – 11 = 0
t = 11/9, masukkan ke persamaan parameter garis g
P(x, y, z) = (–2, –2, –3) + (11/9)(1, 2, 2) = (2/9, 4/9, –5/9)
• Persamaan bola berpusat di O melalui P
s: x² + y² + z² = (2/9)² + (4/9)² + (–5/9)² = 45/81 = 5/9
s: x² + y² + z² = 5/9
2. Tentukan kedua bidang singgung bola B: x² + y² + z² = 9 yang melalui garis g: x + y – 6 = 0, x – 2y – 3 = 0
Bola B berpusat di O(0, 0, 0) dan berjari-jari 3.
• Tentukan berkas bidang yang melalui g
V: x + y – 6 + λ(x – 2y – 3) = 0
V: (1 + λ)x + (1 – 2λ)y – 6 – 3λ = 0
• Tentukan λ sehingga V menyinggung B
Agar V menyinggung B, diharuskan jarak dari O ke V sama dengan jari-jari B, yaitu 3.
(–2 – λ)² = 1 + 2λ + λ² + 1 – 4λ + 4λ²
4 + 4λ + λ² = 2 – 2λ + 5λ²
4λ² – 6λ – 2 = 0, bagi masing-masing ruas dengan 2
2λ² – 3λ – 1 = 0
a = 2, b = –3, c = –1, D = b² – 4ac = 9 + 8 = 17
λ = (3 + √17)/4 ∨ λ = (3 – √17)/4
• Untuk λ = (3 + √17)/4
V: x + y – 6 + [(3 + √17)/4](x – 2y – 3) = 0, kalikan 4
V: 4x + 4y – 24 + 3x + √17x – 6y – 2√17y – 9 – √17 = 0
V: (7 + √17)x + (–2 – 2√17)y – 33 – √17 = 0
• Untuk λ = (3 – √17)/4
V: x + y – 6 + [(3 – √17)/4](x – 2y – 3) = 0, kalikan 4
V: 4x + 4y – 24 + 3x – √17x – 6y + 2√17y – 9 + √17 = 0
V: (7 – √17)x + (–2 + 2√17)y – 33 + √17 = 0
3. Tentukan persamaan bola yang menyinggung bidang V: x – 2z + 5 = 0 dan bidang W: x – 2z – 8 = 0 dan pusatnya terletak pada garis g: x = –2, y = 0.
• Pusat bola s terletak pada garis g: x = –2, y = 0; misal pusatnya adalah M(–2, 0, t)
• V dan W menyinggung s, sehingga jarak M ke V sama dengan jarak M ke W
(3 – 2t)² = (–10 – 2t)²
9 – 12t + 4t² = 100 + 40t + 4t²
91 + 52t = 0
t = –91/52 = –7/4
Sehingga koordinat M(–2, 0, –7/4)
Kuadrat jari-jarinya adalah [3 – 2(–7/4)]²/[1² + (–2)²] = 169/20
Persamaan bola melalui M(–2, 0, –7/4) dengan kuadrat jari-jari 169/20
(x + 2)² + y² + (z + 7/4)² = 169/20
Komentar
Posting Komentar