Matriks Ortogonal

1. Definisi

Suatu matriks persegi A dengan A^-1 = A^T dikatakan matriks ortogonal. Dengan kata lain, matriks ortogonal adalah matriks A yang memenuhi AA^T = A^TA = I.

Contoh:

Kalikan matriks A dengan transposenya menjadi:

Ketika dikalikan menghasilkan matriks identitas, ini berarti matriks A merupakan matriks ortogonal.

2. Hasil Operasi Matriks Ortogonal

(a) Invers dari matriks ortogonal adalah matriks ortogonal.

(b) Hasil kali matriks ortogonal dengan sesama matriks ortogonal adalah matriks ortogonal.

(c) Determinan matriks ortogonal adalah 1 atau −1.

Ingat kembali bahwa transpose matriks tidak mengubah determinan, sedangkan transpose dari matriks ortogonal sama dengan inversnya, sehingga determinan matriks ortogonal sama dengan determinan inversnya. Ini berarti kuadrat determinan matriks ortogonal adalah 1, sehingga hanya dipenuhi oleh det(A) = 1 atau det(A) = −1.

3. Matriks Ortogonal sebagai Operator Linear

Jika A matriks berukuran n × n, pernyataan berikut ekivalen:

(a) A matriks ortogonal

(b) ‖Ax‖ = ‖x‖ untuk setiap x di Rn.

(c) Ax · Ay = x · y untuk setiap x dan y di Rn.

Bukti:

(i) Jika A matriks ortogonal maka ‖Ax‖ = ‖x‖ untuk setiap x di Rn.

A ortogonal sehingga A^TA = I

(ii) Jika ‖Ax‖ = ‖x‖ maka Ax · Ay = x · y untuk setiap x dan y di Rn.
‖Ax‖ = ‖x‖ sehingga berlaku

Ax · Ay = ¼‖Ax + Ay‖² − ¼‖Ax − Ay‖² = ¼‖A(x + y)‖² − ¼‖A(x − y)‖² = ¼‖x + y‖² − ¼‖x − y‖² = x · y.

(iii) Jika Ax · Ay = x · y untuk setiap x dan y di Rn maka A ortogonal.

x · y = x · A^TAy, yang dapat ditulis x · (A^TAy − y) = x · (A^TA − I)y = 0

Karena ini berlaku untuk semua x di Rn, misal x = (A^TA − I)y berlaku:

(A^TA − I)y · (A^TA − I)y = ‖(A^TA − I)y‖² = 0, yang hanya dipenuhi oleh (A^TA − I)y = 0.

Bentuk (A^TA − I)y = 0 merupakan SPL homogen yang berlaku untuk setiap y di Rn. Agar bentuk ini berlaku untuk sebarang y di Rn, diharuskan matriks koefisiennya (yaitu A^TA − I) merupakan matriks nol, sehingga A^TA = I. Dengan kata lain, matriks A ortogonal.

Tambahan:

Jika T: ℝⁿ → ℝⁿ adalah perkalian dengan matriks ortogonal A, maka T disebut sebagai operator ortogonal pada ℝⁿ. Operator ortogonal pada ℝⁿ adalah tepatnya operator-operator yang tidak mengubah panjang semua vektor. Karena refleksi dan rotasi pada ℝ² dan ℝ³ memiliki sifat ini, maka ini menjelaskan pengamatan kita bahwa matriks standar untuk refleksi dan rotasi dasar dari ℝ² dan ℝ³ adalah ortogonal.

4. Perubahan Basis Ortonormal

Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal lainnya dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka P adalah matriks ortogonal; artinya, invers dari P sama dengan transpose dari P.

Perhatikan uraian berikut:

Asumsikan V adalah ruang hasil kali dalam berdimensi n dan P adalah matriks transisi dari basis ortonormal B' ke basis ortonormal B.

Ingat kembali bahwa untuk setiap basis ortonormal untuk V, norm dari setiap vektor u di V sama dengan norm dari vektor koordinatnya di ℝⁿ terhadap hasil kali dalam Euclidean. Dengan demikian untuk setiap vektor u di V, kita memiliki:

‖u‖ = ‖[u]_B‖ = ‖[u]_B'‖

atau

‖u‖ = ‖[u]_B'‖ = ‖P[u]_B'‖

di mana norm pertama adalah terhadap hasil kali dalam pada V dan norm kedua dan ketiga adalah terhadap hasil kali dalam Euclidean pada ℝⁿ.

Sekarang misalkan x adalah vektor sembarang di ℝⁿ, dan misalkan u adalah vektor di V yang vektor koordinatnya terhadap basis B' adalah x; artinya, [u]_B' = x. Dengan demikian,

‖u‖ = ‖x‖ = ‖Px‖

yang artinya P ortogonal.

5. Rotasi Sumbu di Dimensi 2

Dalam banyak permasalahan, diberikan sistem koordinat xy yang berbentuk persegi panjang, dan sistem koordinat x'y' yang baru diperoleh dengan memutar sistem xy berlawanan arah jarum jam sebesar sudut θ terhadap titik asal. Ketika hal ini dilakukan, setiap titik Q pada bidang memiliki dua set koordinat: koordinat (x, y) relatif terhadap sistem xy dan koordinat (x', y') relatif terhadap sistem x'y'.

Dengan memperkenalkan vektor satuan u₁ dan u₂ sepanjang sumbu x dan y positif, dan vektor satuan u₁' dan u₂' sepanjang sumbu x' dan y' positif, kita dapat memandang rotasi ini sebagai perubahan dari basis lama B = {u₁, u₂} ke basis baru B' = {u₁', u₂'}. Dengan demikian, koordinat baru (x', y') dan koordinat lama (x, y) dari suatu titik Q akan dihubungkan oleh:

di mana P adalah matriks transisi dari B ke B'. Untuk menemukan P, kita harus menentukan matriks koordinat dari vektor basis baru u₁' dan u₂' relatif terhadap basis lama. Komponen-komponen dari u₁' dalam basis lama adalah cos(θ) dan sin(θ), sehingga

Demikian pula, komponen-komponen dari u₂' dalam basis lama adalah cos(θ + π/2) = −sin(θ) dan sin(θ + π/2) = cos(θ), sehingga

Oleh karena itu, matriks transisi dari B' ke B adalah

Amati bahwa P matriks ortogonal, karena B dan B' basis ortonormal. O.k.i

Sehingga diperoleh rumus rotasi:

x' = x.cos(θ) + y.sin(θ),    y' = −x.sin(θ) + y.cos(θ)