Nilai Eigen dan Vektor Eigen

1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misal matriks A berukuran n × n, vektor taknol x di Rn disebut sebagai vektor eigen dari A jika Ax sama dengan kelipatan dari x, misalnya Ax = λx untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut sebagai nilai eigen dari A, sedang x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ.

contoh:

x merupakan vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan 3.

2. Menentukan Nilai Eigen

Untuk menentukan nilai eigen dari sebuah matriks A berukuran n × n, kita tulis ulang Ax = λx sebagai:

λIx = Ax, kurangi masing-masing ruas dengan Ax

(λI − A)x = 0, terbentuk SPL homogen

Agar λ menjadi nilai eigen, harus ada solusi non-trivial untuk SPL ini. Ingat kembali bahwa SPL homogen memiliki solusi non-trivial jika dan hanya jika determinan matriks koefisien adalah nol.

det(λI − A) = 0

Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari A. Skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Ketika dijabarkan, determinan det(λI − A) selalu merupakan polinomial p dalam λ, yang disebut polinomial karakteristik dari A.

Karena A matriks n × n, polinomial karakteristik dari A memiliki derajat n dan koefisien dari λⁿ adalah 1; dengan kata lain, polinomial karakteristik dari matriks n × n memiliki bentuk:

p(λ) = det(λI − A) = λⁿ + c₁λ^n-1 + c₂λ^n-2 + ... + c_n 

Dari Teorema Dasar Aljabar, mengikuti bahwa persamaan karakteristik:

λⁿ + c₁λ^n-1 + c₂λ^n-2 + ... + c_n = 0

memiliki paling banyak n solusi berbeda, sehingga sebuah matriks n × n memiliki paling banyak n nilai eigen berbeda.

Contoh:

sehingga diperoleh det(λI − A) = λ² − 5λ − 6 = (λ + 1)(λ − 6) = 0

nilai eigennya adalah λ = −1 ∨ λ = 6.

3. Kasus Khusus untuk Matriks Segitiga

Nilai eigen dari matriks segitiga adalah entri-entri pada diagonal utama.

Ingat kembali bahwa determinan matriks segitiga adalah hasil kali entri-entri diagonal utama, agar determinannya nol, diperlukan adanya elemen 0 pada diagonal utama, sehingga nilai eigennya adalah entri-entri pada diagonal utama.

4. Menentukan Vektor Eigen dan Basis untuk Ruang Eigen

Vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor-vektor taknol x yang memenuhi Ax = λx. Dengan kata lain, vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor-vektor taknol dalam ruang solusi dari (λI − A)x = 0, yaitu dalam ruang null dari (λI − A). Kita menyebut ruang solusi ini sebagai ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan λ.

Contoh:

λ³ − 2λ² − λ + 2 = (λ + 1)(λ − 1)(λ − 2) = 0

λ = −1 ∨ λ = 1 ∨ λ = 2

Untuk λ = −1, terbentuk SPL homogen:

Solusinya adalah:

Untuk λ = 1, terbentuk SPL homogen:

Solusinya adalah:

Untuk λ = 2, terbentuk SPL homogen:

Solusinya adalah:

5. Nilai Eigen Perpangkatan Matriks

Setelah nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A ditemukan, sangat mudah untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari setiap pangkat bilangan bulat positif dari A; misalnya, jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang bersesuaian, maka

A²x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ(λx) = λ²x

yang menunjukkan bahwa λ² adalah nilai eigen dari A² dan x adalah vektor eigen yang bersesuaian. Secara umum, kita memiliki hasil sebagai berikut:

"Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai eigen dari suatu matriks A, dan x adalah vektor eigen yang bersesuaian, maka λ^k adalah nilai eigen dari A^k dan x adalah vektor eigen yang bersesuaian."

6. Invertibilitas

Matriks persegi A dapat dibalik jika dan hanya jika λ = 0 bukan nilai eigen dari A.

Bukti:

Misal A adalah matriks berukuran n × n dan perhatikan bahwa λ = 0 adalah solusi dari persamaan karakteristik

λⁿ + c₁λ^n-1 + c₂λ^n-2 + ... + c_n = 0

jika dan hanya jika konstanta terakhir, cₙ, sama dengan nol. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan bahwa A dapat dibalik jika dan hanya jika cₙ ≠ 0. Tetapi,

det(λI − A) = λⁿ + c₁λ^n-1 + c₂λ^n-2 + ... + c_n 

atau, dengan mensubstitusikan λ = 0,

det(−A) = cₙ atau (−1)ⁿ.det(A) = cₙ

Dari persamaan terakhir, dapat disimpulkan bahwa det(A) = 0 jika dan hanya jika cₙ = 0, dan ini pada gilirannya menyiratkan bahwa A dapat dibalik jika dan hanya jika cₙ ≠ 0.