Pernyataan Ekivalen dengan Invertibilitas Matriks

Misal A matriks berukuran n × n, pernyataan berikut ekivalen:

(a) A dapat dibalik

(b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial

(c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I berukuran n × n

(d) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer

(e) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran n × 1

(f) Ax = b memiliki tepat 1 solusi untuk setiap matriks b berukuran n × 1

(g) det(A) ≠ 0

(h) Vektor-vektor kolom dari A bebas linear

(i) Vektor-vektor baris dari A bebas linear

(j) Vektor-vektor kolom dari A merentang Rn

(k) Vektor-vektor baris dari A merentang Rn

(l) Vektor-vektor kolom dari A membentuk basis untuk Rn

(m) Vektor-vektor baris dari A membentuk basis untuk Rn

(n) A memiliki rank n

(o) A memiliki nullitas 0

(p) Komplemen ortogonal dari ruang null A adalah Rn

(q) Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah {0}

(r) A^TA dapat dibalik

(s) λ = 0 bukanlah nilai eigen dari a