Perubahan Basis

1. Vektor Koordinat

Ingat kembali bahwa jika S = {v₁, v₂, ..., vₙ} adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor v di V dapat dinyatakan secara unik sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, katakanlah:

v = k₁v₁ + k₂v₂ + ... + kₙvₙ

Skalar k₁, k₂, ..., kₙ adalah koordinat dari v relatif terhadap S, dan vektor

(v)ₛ = (k₁, k₂, ..., kₙ)

adalah vektor koordinat dari v relatif terhadap S. Dalam bagian ini, akan lebih mudah untuk mendaftar koordinat sebagai entri dari matriks n × 1. Dengan demikian, kita mengambil

sebagai vektor koordinat dari v relatif terhadap S.

Setiap vektor dalam suatu ruang vektor dapat dinyatakan secara unik sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis. Koordinat dari vektor tersebut relatif terhadap basis dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom, yang disebut vektor koordinat. Koordinat dari sebuah vektor relatif terhadap suatu basis adalah sekumpulan skalar yang menunjukkan seberapa banyak setiap vektor basis berkontribusi dalam membentuk vektor tersebut. Vektor koordinat adalah representasi dari sebuah vektor dalam bentuk vektor kolom, di mana entri-entrinya adalah koordinat vektor tersebut relatif terhadap basis tertentu.

2. Masalah Perubahan Basis

Dalam penerapannya, sering kali kita bekerja dengan lebih dari satu sistem koordinat, dan dalam kasus seperti itu biasanya perlu untuk mengetahui hubungan antara koordinat dari suatu titik atau vektor tetap dalam berbagai sistem koordinat. Karena basis merupakan generalisasi ruang vektor dari sistem koordinat, kita diarahkan untuk mempertimbangkan masalah berikut.

Jika kita mengubah basis untuk suatu ruang vektor V dari basis lama B ke basis baru B', bagaimana vektor koordinat lama [v]_B dari suatu vektor v terkait dengan vektor koordinat baru [v]_B'?

Untuk menyederhanakan, kita akan menyelesaikan masalah ini untuk ruang dua dimensi. Misalkan B = {u₁, u₂} dan B' = {u₁', u₂'} adalah basis lama dan baru, masing-masing. Misalkan [u₁']_B dan [u₂']_B adalah vektor koordinat untuk vektor basis baru relatif terhadap basis lama. Anggaplah saja:

ini artinya

u₁' = au₁ + bu₂

u₂' = cu₁ + du₂

Sekarang misalkan v adalah vektor di V, dan misalkan

adalah vektor koordinat baru, sehingga

v = k₁u₁' + k₂u₂'

Untuk menemukan koordinat lama dari v, kita harus menyatakan v dalam bentuk basis lama B. Untuk melakukan ini, kita substitusikan persamaan u₁' dan u₂' ke dalam persamaan v. Ini menghasilkan:

v = k₁(au₁ + bu₂) + k₂(cu₁ + du₂) = (k₁a + k₂c)u₁ + (k₁b + k₂d)u₂

Jadi, vektor koordinat lama untuk v adalah:

Persamaan ini menyatakan bahwa vektor koordinat lama [v]_B diperoleh ketika kita mengalikan vektor koordinat baru [v]_B' dari kiri dengan matriks P.

Kolom-kolom dari matriks ini adalah koordinat dari vektor basis baru relatif terhadap basis lama.

Ketika kita mengubah basis, koordinat vektor dari suatu vektor juga akan berubah. Untuk mengubah koordinat vektor dari satu basis ke basis lainnya, kita dapat menggunakan matriks perubahan basis. Kolom-kolom dari matriks ini adalah koordinat dari vektor basis baru relatif terhadap basis lama.

3. Solusi Perubahan Basis dan Matriks Transisi

Jika kita mengubah basis untuk ruang vektor V dari basis lama B = {u₁, u₂, ..., uₙ} ke basis baru B' = {u₁', u₂', ..., uₙ'}, maka vektor koordinat lama [v]_B dari suatu vektor v terkait dengan vektor koordinat baru [v]_B' dari vektor v yang sama dengan persamaan:

[v]_B = P[v]_B' 

di mana kolom-kolom dari matriks P adalah vektor koordinat dari vektor basis baru relatif terhadap basis lama; artinya, kolom-kolom dari matriks P adalah:

[u₁']_B, [u₂']_B, ..., [uₙ']_B 

Matriks P dikatakan matriks transisi dari B' ke B; dinyatakan dalam vektor-vektor kolom sebagai:

P = [[u₁']_B|[u₂']_B|...|[uₙ']_B]

Contoh:

Diberikan basis B = {u₁, u₂} dan B' = {u₁', u₂'} untuk R2 dengan u₁ = (1, 0), u₂ = (0, 1), u₁' = (1, 1), dan u₂' = (2, 1). Tentukan matriks transisi dari B ke B'.

Untuk menentukannya, kita nyatakan vektor-vektor di B sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di B', dengan itu akan diperoleh koefisien-koefisien untuk kombinasi linearnya.

Misal u₁ = au₁' + bu₂', sehingga (1, 0) = a(1, 1) + b(2, 1) = (a + 2b, a + b), hal ini membawa kita ke sebuah SPL:

a + 2b = 1 (i)

a + b = 0 (ii)

Solusi dari SPL ini adalah (a, b) = (−1, 1), sehingga kita dapat menyatakan u₁ = −u₁' + u₂'.

Lakukan cara yang sama, akan diperoleh u₂ = 2u₁' − u₂'. Sehingga vektor relatifnya adalah:

Matriks transisi dari B ke B' adalah:

4. Invertibilitas Matriks Transisi

Jika P adalah matriks transisi dari basis B' ke basis B untuk suatu ruang vektor V berdimensi hingga, maka P dapat dibalik, dan P^-1 adalah matriks transisi dari basis B ke basis B'.

Penjelasan:

Proses mengubah basis adalah dua arah. Jika kita memiliki matriks yang mengubah basis dari B' ke B, maka kita juga dapat menemukan matriks yang mengubah basis dari B ke B'. Kedua matriks ini adalah invers satu sama lain. Bayangkan kita memiliki dua sistem koordinat yang berbeda untuk menggambarkan lokasi suatu titik di peta. Matriks transisi P seperti kamus yang menerjemahkan koordinat dari satu sistem ke sistem lainnya.

P^-1 adalah matriks transisi dari basis B ke basis B'. Artinya, jika kita memiliki koordinat suatu vektor dalam basis B dan ingin mengubahnya ke basis B', kita tinggal mengalikan vektor koordinat tersebut dengan matriks P^-1.

Perhatikan uraian berikut:

Misal Q matriks transisi dari B ke B' dengan B = {u₁, u₂, ..., uₙ} dan

Kita dapat menuliskan [x]_B = P[x]_B' dan [x]_B' = Q[x]_B untuk setiap x di V, sehingga kita boleh menuliskannya [x]_B = PQ[x]_B untuk setiap x di V.

Misal x = u₁, hal ini memberikan

Untuk x = u₂, hal ini memberikan

Dan seterusnya, sampai x = uₙ

Dengan menggabungkan keseluruhannya, diperoleh kesamaan PQ = I. Dengan kata lain, P dan Q saling invers.