Rotasi (Putaran)

1. Definisi

Suatu rotasi terhadap titik P dengan sudut θ, dinyatakan dengan R_P,θ adalah pemetaan dengan:

• R_P,θ(P) = P

• R_P,θ(A) = A' dengan |PA'| = |PA| dan ∠APA' = θ.

2. Komposisi Pencerminan

Misal s dan t dua garis berpotongan di titik P. Komposisi pencerminan M_tM_s menghasilkan rotasi dengan pusat P dan sudutnya dua kali sudut antara s dan t.

Perhatikan gambar berikut:

Misal s dan t dua garis berpotongan di titik P.

Misal titik A dicerminkan terhadap s, bayangannya A'. Menurut definisi pencerminan, jarak |PA| = |PA'| dan misal sudut antara PA dengan s adalah α, sudut antara PA' dengan s juga α.

Cerminkan titik A' terhadap t, bayangannya A''. Menurut definisi pencerminan, jarak |PA'| = |PA''| dan misal sudut antara PA' dengan t adalah β, sudut antara PA' dengan t juga β.

• |PA| = |PA'| dan |PA'| = |PA''|, sehingga |PA| = |PA''|.

• Sudut antara s dan t adalah α + β, sedangkan sudut ∠APA'' = 2(α + β)

∴ Jadi, M_tM_s(A) menghasilkan rotasi dengan pusat P dan sudutnya dua kali sudut antara s dan t.

Korolari: Suatu Rotasi R_P,θ selalu dapat dinyatakan sebagai komposisi dua pencerminan terhadap s dan t dengan P titik potong s dan t, dan sudut antara s dan t adalah ½θ.

3. Isometri

Rotasi merupakan isometri.

Perhatikan gambar berikut:

Misal terdapat titik P, A, B dan ∠APB = α.

Titik A diputar terhadap P dengan sudut θ dan bayangannya A'.

Titik B diputar terhadap P dengan sudut θ dan bayangannya B'.

Perhatikan segitiga APB dan A'PB'

(i) |PA| = |PA'| menurut definisi rotasi

(ii) |PB| = |PB'| menurut definisi rotasi

(iii) ∠APB = α dan ∠APA' = θ, ini berarti ∠BPA' = θ − α. Karena ∠BPB' = θ, besar sudut ∠A'PB' adalah ∠BPB' − ∠BPA' = θ − (θ − α) = α. Sehingga ∠APB = ∠A'PB'.

∴ Segitiga APB dan A'PB' kongruen, dari kekongruenannya diperoleh |AB| = |A'B'|

Jadi, rotasi merupakan isometri.

4. Invers

R_P,θ^-1 = R_P,-θ 

Invers dari rotasi terhadap titik P dengan sudut θ adalah rotasi terhadap P dengan sudut −θ, yang artinya besar sudut sama tetapi arahnya berlawanan.

Kita sepakati sudut rotasi dikatakan positif bila berlawanan arah jarum jam, dan sudut rotasi dikatakan negatif bila searah jarum jam.

5. Komposisi Rotasi

R_P,αR_P,β = R_{P,(α + β)} 

Komposisi dua rotasi terhadap titik yang sama menghasilkan rotasi terhadap titik tersebut dan sudutnya dijumlahkan.

Perhatikan gambar berikut:

Misal titik A dirotasikan terhadap titik P dengan sudut α, bayangannya di A'.
Misal titik A' dirotasikan terhadap titik P dengan sudut β, bayangannya di A''.

∠APA'' = ∠APA' + ∠A'PA'' = α + β.

6. Grup Abel

Himpunan rotasi terhadap titik P tertentu dengan operasi komposisi menyusun grup Abel.

Ingat kembali bahwa himpunan transformasi dengan operasi komposisi menyusun grup. Komposisi rotasi merupakan rotasi dengan penjumlahan sudut, sehingga bersifat komutatif. Oleh karena itu menyusun grup Abel.

7. Involusi

Rotasi yang merupakan involusi hanyalah setengah putaran.

Ingat kembali bahwa komposisi rotasi merupakan rotasi dengan penjumlahan sudut, ini berarti komposisi dua rotasi yang sama menghasilkan rotasi dengan sudut dua kali sudut semula. Dikarenakan satu putaran penuh adalah 360°, satu-satunya yang memenuhi adalah rotasi 180°, dengan nama lain setengah putaran.

8. Sudut antara Garis dengan Bayangannya

Misal R_P,α(g) = g', sudut antara g dan g' adalah α.

Perhatikan gambar berikut:

Misal garis g melalui A dan B, R_P,α(A) = A', dan R_P,α(B) = B', sehingga g' melalui A' dan B'. Misal titik potong g dan g' adalah Q.

Ingat kembali bahwa ∆APB ≅ ∆A'PB', sehingga ∠BAP = ∠B'A'P = 180° − ∠QA'P

Perhatikan segiempat AQA'P

∠AQA' + ∠QA'P + ∠A'PA  + ∠PAQ = 360°

∠AQA' + 180° − ∠B'A'P + α  + ∠BAP = 360°

∠AQA' − ∠B'A'P + α  + ∠B'A'P = 180°

∠AQA' + α = 180°

∠AQA' = 180° − α

Sehingga ∠BQA' = 180° − ∠AQA' = 180° − (180° − α) = α

Jadi, sudut antara g dan g' adalah α.