Rumus Rotasi

1. Rotasi Terhadap O(0, 0) dengan Sudut α

Perhatikan gambar berikut:

Misal titik P(x, y) dan R_O,α(P) = P'(x', y'), misal sudut antara sumbu X dan OP adalah β.

x = OP.cos(β) dan y = OP.sin(β)

Gunakan definisi dan teorema rotasi, berlaku:

x' = OP'.cos(α + β) = OP.cos(α).cos(β) − OP.sin(α).sin(β) = x.cos(α) − y.sin(α)

y' = OP'.sin(α + β) = OP.sin(α).cos(β) + OP.cos(α).sin(β) = x.sin(α) + y.cos(α)

Rumus ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

2. Rotasi Terhadap M(a, b) dengan Sudut α

Ingat kembali geseran sumbu, misal titik O(0, 0) digeser ke M(a, b) terbentuk sumbu baru.

Posisi relatif P(x, y) terhadap M(a, b) adalah (x − a, y − b)

Posisi relatif P'(x', y') terhadap M(a, b) adalah (x' − a, y' − b)

Sehingga rumus rotasi terhadap M(a, b) dengan sudut α adalah:

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Misalkan k: 2x + y = 0, P(2, 2) dan A(−1, 2). Tentukan R_P,60°(A) dan R_P,60°(k)

• Tentukan rumus rotasi dan inversnya

• Tentukan R_P,60°(A)

R_P,60°(A): x' = ½(−1 − 2) − ½(√3)(2 − 2) + 2 = ½, y' = ½(√3)(−1 − 2) + ½(2 − 2) + 2 = 2 − (3/2)(√3) ≈ 0,598

R_P,60°(A) = A'(½; 0,598)

• Tentukan R_P,60°(k)

2. Diberikan rumus transformasi sebagai berikut:

Apakah rumus tersebut merupakan rumus rotasi? Jika ya tentukan pusatnya!
Perhatikan matriksnya, amati dengan teliti:

• Kedua elemen diagonal utamanya sama, yaitu ⅗

• Kedua elemen lainnya berlawanan tanda, yaitu ⅘ dan −⅘

• Determinannya adalah 1

Karena matriksnya memenuhi ketiga kriteria, matriks tersebut merupakan matriks rotasi.

Ingat bahwa titik pusat rotasi merupakan titik tetap, misal pusatnya (a, b) berlaku:

Lakukan OBE untuk menyelesaikannya

Pusatnya adalah (−½, −3/2)

3. Diberikan R_P,α dengan α = 60° dan P(2, 3). Misal persamaan garis s: y = 3, tentukan persamaan garis t sehingga M_sM_t = R_P,α!

Sudut antara garis s dan t adalah ½α = 30° dan arahnya dari t ke s berlawanan arah jarum jam.

sehingga t: y − 3 = −⅓(√3)(x − 2)

t: (√3)(y − 3) = −(x − 2)

t: x + (√3)y − 2 − 3(√3) = 0