Bidang Kerucut dan Kerucut Selubung Bola

1. Bidang Kerucut

Bidang kerucut terbentuk dari garis lurus yang digerakkan melalui titik tertentu dan memotong garis lengkung k. Berikut langkah-langkah menentukan persamaan bidang kerucut:

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) pada garis lengkung k: f(x₀, y₀, z₀) = 0, g(x₀, y₀, z₀) = 0.

• Persamaan garis pelukis melalui P adalah x = x₁ + λ(x₁ − x₀), y = y₁ + λ(y₁ − y₀), z = z₁ + λ(z₁ − z₀)

• Dari kelima persamaan yang ada, kita akan menghilangkan parameter λ.

Contoh:

Tentukan persamaan kerucut yang memiliki puncak (1, 2, 3) dan garis lengkung dasar x² + y² + z² = 4, x + y + z = 1.

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) pada garis lengkung dasar kerucut, berlaku:

x₀² + y₀² + z₀² = 4 (i)

x₀ + y₀ + z₀ = 1 (ii)

• Persamaan garis pelukis

x = 1 + λ(x₀ − 1) = 1 + λx₀ − λ ↔ x₀ = (x − 1 + λ)/λ ...(iii)

y = 2 + λ(y₀ − 2) = 2 + λy₀ − 2λ ↔ y₀ = (y − 2 + 2λ)/λ ...(iv)

z = 3 + λ(z₀ − 3) = 3 + λy₀ − 3λ ↔ z₀ = (z − 3 + 3λ)/λ ...(v)

Masukkan (iii), (iv), (v) ke (ii)

(x − 1 + λ)/λ + (y − 2 + 2λ)/λ + (z − 3 + 3λ)/λ = 1

x − 1 + λ + y − 2 + 2λ + z − 3 + 3λ = λ

x + y + z − 6 + 5λ = 0

λ = (6 − x − y − z)/5, masukkan λ ke (iii), (iv), (v)

x₀ = 5(x − 1 + (6 − x − y − z)/5)/(6 − x − y − z) = (4x − y − z + 1)/(6 − x − y − z)

y₀ = 5(y − 2 + 2(6 − x − y − z)/5)/(6 − x − y − z) = (−2x + 3y − 2z + 2)/(6 − x − y − z)

z₀ = 5(z − 3 + 3(6 − x − y − z)/5)/(6 − x − y − z) = (−3x − 3y + 2z + 3)/(6 − x − y − z)

masukkan x₀, y₀, z₀ ke (i)

(4x − y − z + 1)² + (−2x + 3y − 2z + 2)² + (−3x − 3y + 2z + 3)² = 4(6 − x − y − z)²

25x² + 15y² + 5z² − 10xy − 20xz − 30yz + 30x + 40y + 50z − 130 = 0, bagi 5

5x² + 3y² + z² − 2xy − 4xz − 6yz + 6x + 8y + 10z − 26 = 0

2. Kerucut Selubung Bola

Misalkan dari titik T(x₁, y₁, z₁) dibuat kerucut yang menyelubungi bola S = 0, persamaan bidang kerucutnya ditentukan sebagai berikut:

• Misalkan bilangan arah garis pelukisnya adalah (a, b, c), persamaan garis pelukisnya adalah

x = x₁ + λa, y = y₁ + λb, z = z₁ + λc

• a, b, c dan λ di substitusikan pada bola S = 0, diperoleh persamaan kuadrat dalam λ. 

• Kemudian dengan D = 0, dan menghilangkan a, b, c akan diperoleh persamaan yg dicari.

Contoh Soal

Tentukan persamaan kerucut selubung bola S: x² + y² + z² + 4x − 2y = 1 dan puncaknya (1, 1, 1).

• Misalkan bilangan arah garis pelukisnya adalah (a, b, c), persamaan garis pelukisnya adalah

x = 1 + λa ↔ a = (x − 1)/λ (i)

y = 1 + λb ↔ b = (y − 1)/λ (ii)

z = 1 + λc ↔ c = (z − 1)/λ (iii)

• Masukkan (i), (ii), (iii) ke persamaan bola S

(1 + λa)² + (1 + λb)² + (1 + λc)² + 4(1 + λa) − 2(1 + λb) = 1

(a² + b² + c²)λ² + (2a + 2b + 2c + 4a − 2b)λ + 1 + 1 + 1 + 4 − 2 − 1 = 0

(a² + b² + c²)λ² + (6a + 2c)λ + 4 = 0

Agar garis pelukis kerucut menyinggung bola, diharuskan D = 0

(6a + 2c)² − 4.4.(a² + b² + c²) = 0

36a² + 24ac + 4c² − 16a² − 16b² − 16c² = 0

20a² − 16b² − 12c² + 24ac = 0

5a² − 4b² − 3c² + 6ac = 0, masukkan (i), (ii), (iii) ke sini

5[(x − 1)/λ]² − 4[(y − 1)/λ]² − 3[(z − 1)/λ]² + 6[(x − 1)/λ][(z − 1)/λ] = 0

5(x² − 2x + 1) − 4(y² − 2y + 1) − 3(z² − 2z + 1) + 6(xz − x − z + 1) = 0

5x² − 4y² − 3z² + 6xz − 16x + 8y + 4 = 0