Bidang Putar dan Bidang Atur

1. Bidang Putar (Surface of Revolution)

Bidang putar terjadi jika garis lurus/lengkung diputar mengelilingi garis tertentu.

• Misal sumbu putarnya garis l:

• Garis lengkung yang diputar persamaannya k: f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0

• Misal titik P(x₀, y₀, z₀) pada kurva k, sehingga diperoleh:

f(x₀, y₀, z₀) = 0 dan g(x₀, y₀, z₀) = 0

• Lingkaran s merupakan perpotongan bola dengan pusat M dengan bidang datar yang melalui P dan tegak lurus l sehingga diperoleh:

a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0 dan

Titik pusatnya adalah M(x₁, y₁, z₁) yang terletak di sumbu putar.

(x − x₁)² + (y − y₁)² + (z − z₁)² = (x₀ − x₁)² + (y₀ − y₁)² + (z₀ − z₁)²

• Dengan menghilangkan indeks, maka diperoleh persamaan bidang putar.

Contoh Soal

1. Jika kurva k: y = 0, x/2 + z/4 = 1 diputar mengelilingi sumbu z, tentukan persamaan bidang putar yang terjadi.

• Misal titik P(x₀, y₀, z₀) pada kurva k, sehingga diperoleh:

y₀ = 0 (i)

x₀/2 + z₀/4 = 1 ↔ x₀/2 = 1 − z₀/4 (ii)

• Bilangan arah sumbu z adalah (0, 0, 1)

Persamaan lingkaran s

0(x − x₀) + 0(y − y₀) + 1(z − z₀) = 0 ↔ z = z₀ (iii)

Untuk pusatnya adalah (0, 0, 0) yang terletak di sumbu z.

x² + y² + z² = x₀² + y₀² + z₀² (iv)

Masukkan (i) dan (iii) ke (iv)

x² + y² + z² = x₀²  + z²

x² + y² = x₀² (v)

Kuadratkan masing-masing ruas dari (ii)

x₀²/4 = 1 + z₀²/16 − z₀/2, masukkan (v) dan (iii) kesini

x²/4 + y²/4 = 1 + z²/16 − z/2, kalikan masing-masing ruas dengan 16

4x² + 4y² = 16 + z² − 8z

4x² + 4y² − z² + 8z − 16 = 0

2. Tentukan persamaan bidang putar jika parabola k: y² − 2z = 0, x + 4 = 0 diputar mengelilingi garis g: x + 2 = (2 − y)/2 = −z.

• Misal titik P(x₀, y₀, z₀) pada kurva k, sehingga diperoleh:

y₀² − 2z₀ = 0 ↔ 2z₀ = y₀² ↔ y₀ = √(2z₀) (i)

x₀ + 4 = 0 ↔ x₀ = −4 (ii)

• Bilangan arah garis g adalah (1, −2, −1)

Persamaan bidang melalui P tegak lurus g

1(x − x₀) − 2(y − y₀) − (z − z₀) = 0 ↔ x − 2y − z − x₀ + 2y₀ + z₀ = 0  (iii)

• Buat bola berpusat di M(−2, 2, 0) yang terletak di g dan melalui P

(x + 2)² + (y − 2)² + z² = (x₀ + 2)² + (y₀ − 2)² + z₀² (iv)

• Masukkan (i) dan (ii) ke (iii)

x − 2y − z + 4 + 2√(2z₀) + z₀ = 0

2√(2z₀) + z₀ = −x + 2y + z − 4, tambah masing-masing ruas dengan 2

2√(2z₀) + z₀ + 2 = −x + 2y + z − 2

[√z₀ + √2]² = −x + 2y + z − 2, akarkan masing-masing ruas

√z₀ + √2 = √(−x + 2y + z − 2)

√z₀ = √(−x + 2y + z − 2) − √2, kuadratkan masing-masing ruas

z₀ = −x + 2y + z − 2 + 2 − 2√(−2x + 4y + 2z − 4)

z₀ = −x + 2y + z − 2√(−2x + 4y + 2z − 4)

• y₀ = √(2z₀) = √(−2x + 4y + 2z − 4) − 2

Masukkan x₀, y₀, z₀ ke (iv)

(x + 2)² + (y − 2)² + z² = (−4 + 2)² + y₀² − 4y₀ + 4 + z₀²

x² + 4x + 4 + y² − 4y + 4 + z² = 4 − 4y₀ + 4 + z₀² + 2z₀

x² + y² + z² + 4x − 4y + 8 = 8 − 4[√(−2x + 4y + 2z − 4) − 2] + [−x + 2y + z − 2√(−2x + 4y + 2z − 4)]² + 2[−x + 2y + z − 2√(−2x + 4y + 2z − 4)]

x² + y² + z² + 4x − 4y = −4√(−2x + 4y + 2z − 4) + 8 + (−x + 2y + z)² + 4(−2x + 4y + 2z − 4) − 4(−x + 2y + z).√(−2x + 4y + 2z − 4) − 2x + 4y + 2z − 4√(−2x + 4y + 2z − 4)

x² + y² + z² + 4x − 4y = −8√(−2x + 4y + 2z − 4) + 8 + (−x + 2y + z)² − 8x + 16y + 8z − 16 + (4x − 8y − 4z).√(−2x + 4y + 2z − 4) − 2x + 4y + 2z

x² + y² + z² + 4x − 4y = (−8 + 4x − 8y − 4z).√(−2x + 4y + 2z − 4) + 8 + x² + 4y² + z² − 4xy − 2xz + 4yz − 8x + 16y + 8z − 16 − 2x + 4y + 2z

x² + y² + z² + 4x − 4y = (−8 + 4x − 8y − 4z).√(−2x + 4y + 2z − 4) + x² + 4y² + z² − 4xy − 2xz + 4yz − 10x + 20y + 10z − 8

(−8 + 4x − 8y − 4z).√(−2x + 4y + 2z − 4) + 3y² − 4xy − 2xz + 4yz − 14x + 24y + 10z − 8 = 0

2. Bidang Atur

Bidang atur adalah bidang yang terjadi jika garis lurus digerakan (di dalam ruang) dengan suatu aturan tertentu.

Contoh:

1. Tentukan persamaan bidang atur yang terjadi jika suatu garis lurus bergerak memotong garis g₁: y = 3, z = −1, g₂: z = 2, x = −1 dan g₃: x = 2, y = −2.

• Persamaan garis g yang selalu memotong g₁ dan g₂ adalah g: y – 3 + a(z + 1) = 0, x + 1 + b(z – 2) = 0 atau dapat dituliskan juga:

y + az + a – 3 = 0 ↔ a = (3 – y)/(z + 1) (i) 

x + bz – 2b + 1 = 0 ↔ b = (x + 1)/(2 – z) (ii)

• Karena juga memotong g₃, masukkan persamaan g₃: x = 2, y = −2 ke (i) dan (ii)

−2 + az + a – 3 = 0 ↔ az + a – 5 = 0 ↔ z = (5 – a)/a (iii)

2 + bz – 2b + 1 = 0 ↔ bz – 2b + 3 = 0 ↔ z = (2b – 3)/b (iv)

• Masukkan (iii) ke (iv)

(5 – a)/a = (2b – 3)/b ↔ b(5 – a) = a(2b – 3) ↔ 5b – ab = 2ab – 3a ↔ –3ab + 3a + 5b = 0 (v)

• Masukkan (i) dan (ii) ke (v)

–3[(3 – y)/(z + 1)][(x + 1)/(2 – z)] + 3(3 – y)/(z + 1) + 5(x + 1)/(2 – z) = 0, kalikan masing-masing ruas dengan (z + 1)(2 – z) untuk menghilangkan pecahan.

–3(3 – y)(x + 1) + 3(3 – y)(2 – z) + 5(x + 1)(z + 1) = 0

–3(3x – y – xy + 3) + 3(–2y – 3z + yz + 6) + 5(x + z + xz + 1) = 0

–4x – 3y – 4z + 3xy + 3yz + 5xz + 14 = 0

2. Tentukan persamaan bidang atur dengan garis pelukis sejajar bidang V: x + y = 0 serta memotong garis g: x – y = 0, z = 0 dan garis lengkung k: x² = 2z, y = 0.

• Bilangan arah bidang V adalah (1, 1, 0)

• Garis pelukis, misal h, sejajar dengan V sehingga bilangan arah garis h adalah (1, –1, c)

• Persamaan garis g dalam bentuk parameter, g: (x, y, z) = t(1, 1, 0) = (t, t, 0)

Pada saat x = y, diharuskan z = 0.

• Persamaan kurva k dalam bentuk parameter, k: (x, y, z) = (s, 0, s²/2)

Pada saat y = 0, diharuskan z = x²/2

• Masukkan ketentuan garis g ke kurva k

z = x²/2 – 0 (ketentuan kurva k), masukkan ketentuan garis g kesini

0 = x²/2 – y²/2, satukan keduanya

z = x²/2 – y²/2, bentuk ini memenuhi ketentuan garis g, yaitu pada saat x = y, diharuskan z = 0 dan juga memenuhi ketentuan kurva k, yaitu pada saat y = 0, diharuskan z = x²/2.

Jadi persamaan bidang aturnya adalah z = x²/2 – y²/2.