Bidang Silinder dan Silinder Selubung Bola

1. Bidang Silinder

Garis lurus yang digerakkan sejajar dan selalu memotong kurva k. Berikut langkah-langkah untuk menentukan persamaan bidang silinder:

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) pada garis lengkung k: f(x₀, y₀, z₀) = 0, g(x₀, y₀, z₀) = 0.

• Persamaan garis pelukis melalui P dengan bilangan arah (a, b, c), yaitu x = x₀ + λa, y = y₀ + λb, z = z₀ + λc

• Dari kelima persamaan yang ada, kita akan menghilangkan parameter λ.

Contoh Soal

1. Tentukan persamaan silinder yang garis lengkung dasarnya lingkaran pada XOY, pusat O dan jari-jari 1 sedangkan garis pelukisnya sejajar dengan x = y = z.

• Persamaan lingkaran dasar x² + y² + z² = 1, z = 0

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) pada garis lengkung dasar, berlaku

x₀² + y₀² + z₀² = 1 (i)

z₀ = 0 (ii)

• Garis pelukis melalui P dengan bilangan arah (1, 1, 1)

x = x₀ + λ (iii)

y = y₀ + λ (iv)

z = z₀ + λ (v)

• Masukkan (ii) ke (v), diperoleh z = λ, masukkan ke (iii) dan (iv)

x = x₀ + z ↔ x₀ = x − z, dan y = y₀ + z ↔ y₀ = y − z, masukkan ke (i)

(x − z)² + (y − z)² + 0² = 1

x² + y² + 2z² − 2xy − 2xz − 1 = 0

2. Tentukan persamaan silinder yang garis pelukisnya sejajar sumbu z, melalui garis lengkung ax² + by² + cz² = 1, kx + my + nz = p.

• Persamaan kurva dasar ax² + by² + cz² = 1, kx + my + nz = p

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) pada garis lengkung dasar, berlaku

ax₀² + by₀² + cz₀² = 1 (i)

kx₀ + my₀ + nz₀ = p (ii)

• Garis pelukis melalui P dengan bilangan arah (0, 0, 1)

x = x₀ (iii)

y = y₀ (iv)

z = z₀ + λ ↔ z₀ = z − λ (v)

• Masukkan (iii), (iv), dan (v) ke (ii)

kx + my + n(z − λ) = p

kx + my + nz − nλ = p

λ = (kx + my + nz − p)/n, masukkan ke (v)

z₀ = z − (kx + my + nz − p)/n, masukkan ke (i)

ax² + by² + c[z − (kx + my + nz − p)/n]² = 1

an²x² + bn²y² + c(−kx − my + p)² = n²

an²x² + bn²y² + c(k²x² + m²y² + p² + 2kmxy − 2kpx − 2mpy) = n²

(an² + ck²)x² + (bn² + cm²)y² + (2ckm)xy + (−2ckp)x + (−2cmp)y + cp² − n² = 0

2. Silinder Selubung Bola

Silinder selubung dari bola S = 0 yang bilangan arah pelukisnya (a, b, c) dapat ditentukan sebagai berikut:

• Persamaan garis pelukis melalui P dengan bilangan arah (a, b, c), yaitu x = x₀ + λa, y = y₀ + λb, z = z₀ + λc

• Parameter λ disubstisusikan ke S = 0, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam λ, syarat menyinggung diskriminan = 0

• Dengan menjalankan titik yang diketahui didapat persamaan yang diminta.

Contoh Soal

Tentukan persamaan silinder selubung bola x² + y² + z² − 2x + 4y = 1, porosnya sejajar dengan garis x = −y = z.

• Diketahui bola S: x² + y² + z² − 2x + 4y = 1

• Persamaan garis pelukis melalui (x₀, y₀, z₀) dengan bilangan arah (1, −1, 1)

x = x₀ + λ (i)

y = y₀ − λ (ii)

z = z₀ + λ (iii)

Masukkan (i), (ii), dan (iii) ke persamaan bola

(x₀ + λ)² + (y₀ − λ)² + (z₀ + λ)² − 2(x₀ + λ) + 4(y₀ − λ) = 1

x₀² + y₀² + z₀² + λ² + λ² + λ² + 2λx₀ − 2λy₀ + 2λz₀ − 2x₀ − 2λ + 4y₀ − 4λ − 1 = 0

3λ² + (2x₀ − 2y₀ + 2z₀ − 6)λ + x₀² + y₀² + z₀² − 2x₀ + 4y₀ − 1 = 0

• Syarat menyinggung D = 0

(2x₀ − 2y₀ + 2z₀ − 6)² − 4.3.(x₀² + y₀² + z₀² − 2x₀ + 4y₀ − 1) = 0

−8x₀² − 8y₀² − 8z₀² − 8x₀y₀ + 8x₀z₀ − 8y₀z₀ − 24y₀ − 24z₀ + 48 = 0

x₀² + y₀² + z₀² + x₀y₀ − x₀z₀ + y₀z₀ + 3y₀ + 3z₀ − 6 = 0, jalankan

x² + y² + z² + xy − xz + yz + 3y + 3z − 6 = 0