Dilatasi (Penskalaan)

1. Definisi

Untuk suatu titik P dan bilangan k ≠ 0 transformasi D_P,k disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor skala k apabila:

a. D_P,k(P) = P

b. Untuk Q ≠ P, D_P,k(Q) = Q' dengan vektor PQ' = kPQ dan Q' sepihak dengan Q untuk k positif dan Q' berlawanan pihak dengan Q untuk k negatif. Dengan kata lain, P, Q, dan Q' kolinear dan jarak dari P ke Q' adalah |k| kali jarak P ke Q, untuk k positif Q' sepihak dengan Q dan untuk k negatif Q' berlawanan pihak.

2. Kasus Khusus Faktor Dilatasi

Kasus khusus untuk k = 1, D_P,k menjadi identitas, untuk k = −1, D_P,k menjadi H_P.

Hal ini berlaku karena untuk k = 1, jarak PQ' = PQ, dan dikarenakan kolinear dan sepihak, hanya titik Q satu-satunya yang memenuhi, sehingga diharuskan Q' = Q.

Adapun untuk k = −1, jarak PQ' = PQ, dan dikarenakan kolinear dan berlawanan pihak, titik P merupakan titik tengah dari Q dan Q', ini berarti Q' = H_P(Q).

3. Bayangan Garis Hasil Dilatasi

Untuk garis g' = D_P,k(g) berlaku:

a. g' = g untuk P terletak pada g

Menurut definisi, D_P,k(P) = P, sehingga jelas bahwa bayangan dari P terletak di g. Sedangkan untuk titik-titik lainnya yang terletak di g, bayangannya juga terletak di g. Jadi, D_P,k(g) = g.

b. g' sejajar dengan g untuk P tidak terletak pada g

Diberikan titik P di luar garis g, ambil sebarang dua titik A dan B yang terletak di g.

D_P,k(A) = A' dan D_P,k(B) = B' yang mana A' dan B' terletak di g'.

|PA'|/|PA| = |PB'|/|PB| = k dan ∠APB = ∠A'PB' karena berhimpit, sehingga segitiga ABP dan A'B'P sebangun.

Dari kesebangunannya, ∠BAP = ∠B'A'P. Dikarenakan kedua sudut besarnya sama dan salahsatu kakinya sama, yaitu garis PA, ∠BAP dan ∠B'A'P merupakan sudut sehadap. Sehingga diharuskan garis g dan g' sejajar.

4. Komposisi Dilatasi dengan Isometri

Hasil komposisi suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu similaritas. Sebaliknya suatu similaritas selalu dapat dianggap sebagai hasil komposisi suatu dilatasi dan suatu isometri.

5. Segitiga Sebangun

Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A'B'C' terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A', B ke B' dan C ke C'.

6. Rumus Dilatasi

Misalkan Q(x, y) dibawa oleh D_P,k menjadi Q'(x', y') dan 

x adalah vektor letak dari Q(x, y).

x' adalah vektor letak dari Q'(x', y'), dan 

t adalah vektor letak dari P(a, b)

uraikan, akan didapat:

PQ' = kPQ

x' – t = k(x – t)

(x' – a, y' – b) = k(x – a, y – b)

(x', y') = k(x – a, y – b) + (a, b), boleh juga dituliskan

(x', y') = k(x – a, y – b) + (a, b) = k(x, y) + (1 – k)(a, b)

x' = kx – ka + a,    y' = ky – kb + b

7. Komposisi Dilatasi

a. Komposisi Dilatasi Sepusat

D_P,kD_P,m = D_P,km 

b. Komposisi Dilatasi Tidak Sepusat

Misal P(a, b) dan Q(c, d)

• D_P,kD_Q,m = D_R,km untuk km ≠ ±1

D_Q,m: (x', y') = (mx – mc + c, my – md + d)

D_P,kD_Q,m: (x'', y'') = (kx' – ka + a, ky' – kb + b) = (kmx – kmc + kc – ka + a, kmy – kmd + kd – kb + b) = km(x, y) + (1 – km)[k(1 – m)c/(1 – km) + (1 – k)a/(1 – km), k(1 – m)d/(1 – km) + (1 – k)b/(1 – km)].

Hasil komposisinya merupakan dilatasi dengan faktor km dan pusatnya adalah

[k(1 – m)c/(1 – km) + (1 – k)a/(1 – km), k(1 – m)d/(1 – km) + (1 – k)b/(1 – km)]

pusat baru juga dapat dinyatakan sebagai [k(1 – m)/(1 – km)](c, d) + [(1 – k)/(1 – km)](a, b)

• Pusat baru dari komposisi dua dilatasi beda pusat kolinear dengan kedua pusat dilatasi yang dikomposisikan, perhatikan:

Misal P(a, b) dan Q(c, d) dan D_P,kD_Q,m = D_R,km untuk km ≠ ±1, koordinat titik R adalah:

R([k(1 – m)/(1 – km)](c, d) + [(1 – k)/(1 – km)](a, b)), misal λ₁ = k(1 – m) dan λ₂ = 1 – k

λ₁ + λ₂ = k(1 – m) + 1 – k = k – km + 1 – k = 1 – km

dapat dinyatakan R[(λ₁Q + λ₂P)/(λ₁ + λ₂)], ini berarti (∃λ₁, λ₂) ∋ R = (λ₁Q + λ₂P)/(λ₁ + λ₂) yang artinya titik P, Q, dan R kolinear.

• D_P,kD_Q,m menjadi geseran untuk km = 1

Ingat kembali bahwa (x'', y'') = km(x, y) + [k(1 – m)c + (1 – k)a, k(1 – m)d + (1 – k)b], karena km = 1

(x'', y'') = (x, y) + [(k – 1)c + (1 – k)a, (k – 1)d + (1 – k)b] = (x, y) + (1 – k)(a – c, b – d)

Hasilnya berupa geseran dengan vektor gesernya (1 – k)(a – c, b – d)

• D_P,kD_Q,m menjadi setengah putaran untuk km = –1

Ingat kembali bahwa (x'', y'') = km(x, y) + [k(1 – m)c + (1 – k)a, k(1 – m)d + (1 – k)b], karena km = –1

(x'', y'') = –(x, y) + [(1 + k)c + (1 – k)a, (1 + k)d + (1 – k)b]

Hasilnya berupa setengah putaran dengan pusatnya ½[(1 + k)c + (1 – k)a, (1 + k)d + (1 – k)b]

Contoh Soal

Diketahui titik A(2, –1), B(3, 1), C(3, 3) dan m: 2x + y + 3 = 0. Jika k = ½, tentukan D_A,k(C) dan D_B,k(m).

D_A,k(C) = A + ½(C – A) = (2, –1) + ½(3 – 2, 3 + 1) = (5/2, 1)

D_B,k: (x', y') = (3, 1) + ½(x – 3, y – 1) = (½x + 3/2, ½y + ½)

D_B,k^-1: (x, y) = (2x' – 3, 2y' – 1)

m: 2(2x' – 3) + 2y' – 1 + 3 = 0

m: 4x' + 2y' – 4 = 0

m: 2x' + y' – 2 = 0

D_B,k(m) = m': 2x + y – 2 = 0