Isomorfisme (Alvek)

1. Transformasi Linear Surjektif

Misalkan V dan W adalah ruang vektor real. Kita katakan bahwa transformasi linear T: V → W adalah onto jika range dari T adalah W, artinya, jika untuk setiap w dalam W, terdapat suatu v dalam V sedemikian sehingga

T(v) = w

Transformasi onto juga disebut surjektif atau surjeksi. Untuk pemetaan surjektif, maka range dan kodomain bertepatan.

Pertimbangkan proyeksi P: ℝ³ → ℝ² yang didefinisikan oleh P(x, y, z) = (x, y). Ini adalah pemetaan onto, karena jika w = (x, y) adalah sebuah titik dalam ℝ², maka v = (x, y, 0) dipetakan ke sana. (Tentu saja, begitu juga dengan tak terhingga banyak titik lain dalam ℝ³.)

Pertimbangkan transformasi Q: ℝ³ → ℝ³ yang didefinisikan oleh Q(x, y, z) = (x, y, 0). Ini pada dasarnya sama dengan p kecuali kita menganggap hasilnya sebagai vektor dalam ℝ³ daripada vektor dalam ℝ². Pemetaan ini bukan onto, karena misalnya, titik (1, 1, 1) dalam kodomain bukan merupakan bayangan dari v apa pun dalam domain.

2. Transformasi Linear Bijektif

Jika suatu transformasi T: V → W satu-satu (juga disebut injektif atau injeksi) dan onto, maka itu adalah pemetaan satu-satu ke range-nya W dan karenanya memiliki invers T⁻¹: W → V. Suatu transformasi yang satu-satu dan onto juga dikatakan bijektif atau bijeksi antara V dan W. Invers dari suatu bijeksi juga merupakan bijeksi.

Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi hingga, maka dimensi dari kodomain W harus setidaknya sebesar dimensi dari domain V agar ada transformasi linear satu-satu dari V ke W. Artinya, dapat ada transformasi linear injektif dari V ke W hanya jika dim(V) ≤ dim(W). Demikian pula, dapat ada transformasi linear surjektif dari V ke W hanya jika dim(V) ≥ dim(W). Jadi, agar dapat ada transformasi linear bijektif diharuskan dim(V) = dim(W).

Hal ini dirangkum menjadi: "Misalkan V dan W adalah ruang vektor berdimensi hingga. Jika dimensi dari V tidak sama dengan dimensi dari W, maka tidak mungkin ada transformasi linear bijektif dari V ke W."

3. Isomorfisme

Isomorfisme dari V dan W adalah transformasi linear bijektif dari V ke W.

Perhatikan bahwa jika T adalah isomorfisme antara V dan W, maka invers dari T, yaitu T⁻¹, ada dan juga merupakan isomorfisma antara W dan V. Karena alasan ini, kita mengatakan bahwa V dan W adalah isomorfik jika ada isomorfisma dari V ke W. Istilah "isomorfik" berarti "berbentuk sama", sehingga ruang vektor yang isomorfik memiliki bentuk atau struktur yang sama.

Sejauh ini, belum ada jaminan bahwa jika dimensi dari V sama dengan dimensi dari W, maka pasti ada isomorfisme dari V ke W. Namun, setiap ruang vektor real berdimensi n mengakui setidaknya satu transformasi linear bijektif ke ℝⁿ, yaitu transformasi T(v) = (v)_S yang membawa suatu vektor di V ke vektor koordinatnya di ℝⁿ dengan relatif terhadap basis standar untuk ℝⁿ.

4. Isomorfisme dengan ℝⁿ

Misalkan V adalah ruang vektor real berdimensi hingga. Jika dimensi dari V adalah n, maka terdapat suatu isomorfisma dari V ke ℝⁿ.

Ini merupakan pernyataan formal dari fakta, untuk kasus V = W, bahwa setiap perhitungan yang melibatkan operator linear T pada V setara dengan perhitungan yang melibatkan operator linear pada ℝⁿ; artinya, setiap perhitungan yang melibatkan operator linear pada V setara dengan perkalian matriks. Operasi pada V pada dasarnya sama dengan operasi pada ℝⁿ.

Jika dimensi dari V sama dengan n, maka kita dapat mengatakan bahwa V dan ℝⁿ memiliki struktur aljabar yang sama. Ini berarti bahwa meskipun nama-nama yang biasa diberikan kepada vektor dan operasi yang sesuai di V mungkin berbeda dari nama-nama tradisional di ℝⁿ, sebagai ruang vektor, keduanya sebenarnya sama.

5. Isomorfisme antar Ruang Vektor

Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor berdimensi hingga. Jika dimensi dari V sama dengan dimensi dari W, maka V dan W adalah isomorfik.

Misalkan n adalah dimensi yang sama dari V dan W, maka terdapat isomorfisma T dari V ke ℝⁿ. Demikian pula, terdapat isomorfisma S dari W ke ℝⁿ. Misalkan R = S⁻¹. Maka, komposisi R ∘ T adalah isomorfisma dari V ke W, sehingga V dan W adalah isomorfik.

Catatan:

Dalam konteks isomorfisma, sebenarnya hanya ada satu ruang vektor real berdimensi n, meskipun dengan banyak nama yang berbeda. Kita mengambil ℝⁿ sebagai contoh kanonik dari ruang vektor real berdimensi n karena pentingnya vektor koordinat. Vektor koordinat berada di ℝⁿ karena mereka adalah vektor koefisien dalam kombinasi linear

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ

dan karena skalar kita, a₁, a₂, ..., aₙ, adalah bilangan real, maka koefisien (a₁, a₂, ..., aₙ) adalah n-tuple real.

Mari sejenak berfikir tentang implikasi praktis dari hasil ini. Jika Anda ingin memprogram komputer untuk melakukan operasi linear, seperti operasi dasar kalkulus pada polinomial, Anda dapat melakukannya menggunakan perkalian matriks. Jika Anda ingin membuat grafis video game yang memerlukan rotasi dan refleksi, Anda dapat melakukannya menggunakan perkalian matriks. (Bahkan, arsitektur khusus dari konsol game video kelas atas dirancang untuk mengoptimalkan kecepatan perhitungan matriks-matriks dan matriks-vektor untuk menghitung posisi baru objek dan untuk pencahayaan dan rendering. Cluster superkomputer telah dibuat dari perangkat ini!) Inilah sebabnya mengapa setiap bahasa pemrograman komputer tingkat tinggi memiliki fasilitas untuk array (vektor dan matriks). Isomorfisma memastikan bahwa setiap operasi linear pada ruang vektor dapat dilakukan hanya dengan menggunakan kemampuan tersebut, dan sebagian besar operasi yang menarik baik akan bersifat linear atau dapat didekati oleh operator linear.