Kernel dan Range

Ingatlah bahwa jika A adalah sebuah matriks m × n, maka ruang nol dari A terdiri dari semua vektor x di Rⁿ sedemikian sehingga Ax = 0, sedangkan ruang kolom dari A terdiri dari semua vektor b di Rᵐ untuk setidaknya terdapat satu vektor x di Rⁿ sedemikian sehingga Ax = b.

Dari sudut pandang transformasi matriks, ruang nol dari A terdiri dari semua vektor di Rⁿ yang jika dikalikan dengan A menghasilkan 0, dan ruang kolom dari A terdiri dari semua vektor di Rᵐ yang merupakan hasil kali dari setidaknya satu vektor di Rⁿ jika dikalikan dengan A.

1. Definisi

Jika T: V → W adalah transformasi linear, maka himpunan semua vektor di V yang dipetakan oleh T menjadi 0 disebut kernel dari T dan dinotasikan dengan ker(T).

Himpunan semua vektor di W yang merupakan hasil peta dari setidaknya satu vektor di V disebut range dari T dan dinotasikan dengan R(T).

2. Kernel dan Range dari Transformasi Linear Tertentu

A. Kernel dan range dari transformasi matriks

Jika T: ℝⁿ → ℝᵐ adalah perkalian dengan matriks A berukuran m × n, maka dari diskusi sebelum definisi di atas, kernel dari T adalah ruang nol dari A, dan range dari T adalah ruang kolom dari A.

B. Kernel dan range dari transformasi nol

Misalkan T: V → W adalah transformasi nol. Karena T memetakan setiap vektor di V ke 0, maka ker(T) = V. Selain itu, karena 0 adalah satu-satunya hasil peta dari vektor-vektor di V oleh T, maka R(T) = {0}.

C. Kernel dan range dari operator identitas

Misalkan I: V → V adalah operator identitas. Karena I(v) = v untuk semua vektor v di V, setiap vektor di V adalah hasil peta dari suatu vektor (yaitu, dirinya sendiri); sehingga R(I) = V. Karena satu-satunya vektor yang dipetakan oleh I menjadi 0 adalah 0, maka ker(I) = {0}.

3. Kernel dan Range dari Proyeksi Ortogonal ke Bidang XOY

Misalkan T: ℝ³ → ℝ² adalah proyeksi orthogonal ke bidang XOY. Kernel dari T adalah himpunan titik-titik yang dipetakan oleh T ke O = (0, 0, 0); ini adalah titik-titik pada sumbu z. Karena T memetakan setiap titik di ℝ³ ke bidang XOY, maka range dari T pastilah merupakan suatu subset dari bidang ini. Tetapi setiap titik (x₀, y₀, 0) di bidang XOY adalah hasil peta dari T pada suatu titik; bahkan, ia adalah hasil peta dari semua titik pada garis vertikal yang melalui (x₀, y₀, 0). Dengan demikian, R(T) adalah seluruh bidang XOY.

4. Kernel dan Range dari Rotasi

Misalkan T: ℝ² → ℝ² adalah operator linear yang memutar setiap vektor di bidang XOY sejauh sudut θ. Karena setiap vektor di bidang XOY dapat diperoleh dengan memutar suatu vektor sejauh sudut θ, maka kita punya R(T) = ℝ². Selain itu, satu-satunya vektor yang jika diputar akan menjadi 0 adalah 0, sehingga ker(T) = {0}.

5. Kernel dari Diferensiasi

Misalkan V = C¹(−∞, ∞) adalah ruang vektor dari semua fungsi yang memiliki turunan pertama kontinu pada interval (−∞, ∞). Misalkan W = F(−∞, ∞) adalah ruang vektor dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval (−∞, ∞), dan misalkan D: V → W adalah transformasi diferensial yang didefinisikan sebagai D(f) = f'(x). Kernel dari D adalah himpunan semua fungsi dalam V yang turunannya sama dengan nol. Dari kalkulus, kita tahu bahwa ini adalah himpunan semua fungsi konstan pada interval (−∞, ∞).

6. Kesubruangan Kernel dan Range

Jika T: V → W adalah transformasi linear, maka

(a) Kernel dari T adalah subruang dari V.

Jelas bahwa kernel dari T merupakan subset dari V, sehingga untuk menunjukkannya merupakan subruang, cukup dengan menunjukkan sifat tertutup operasi penjumlahan dan perkalian skalar.

Ambil sebarang vektor v₁ dan v₂ di ker(T), dan sebarang skalar k.

T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂) = 0 + 0 = 0, sehingga v₁ + v₂ juga anggota ker(T)

T(kv₁) = kT(v₁) = k0 = 0, sehingga kv₁ juga anggota ker(T)

Jadi, kernel dari T adalah subruang dari V.

(b) Range dari T adalah subruang dari W.

Jelas bahwa range dari T merupakan subset dari W, sehingga untuk menunjukkannya merupakan subruang, cukup dengan menunjukkan sifat tertutup operasi penjumlahan dan perkalian skalar.

Ambil sebarang w₁ dan w₂ di R(T), sehingga terdapat a₁ dan a₂ di V sedemikian sehingga T(a₁) = w₁ dan T(a₂) = w₂. Misal a = a₁ dan a₂, berlaku

w₁ + w₂ = T(a₁) + T(a₂) = T(a₁ + a₂) = T(a), sehingga w₁ + w₂ juga anggota R(T)

dan misalkan b = ka₁, berlaku

kw₁ = kT(a₁) = T(ka₁) = T(b), sehingga kw₁ juga anggota R(T)

Jadi, range dari T adalah subruang dari W.

7. Rank dan Nulitas dari Transformasi Linear

Jika T: V → W adalah transformasi linear, maka dimensi dari range T disebut rank dari T dan dinotasikan dengan rank(T); dimensi dari kernel disebut nulitas dari T dan dinotasikan dengan nulitas(T).

Contoh:

Ingat kembali bahwa kernel dari proyeksi ortogonal ke bidang XOY adalah sumbu z, yang mana berdimensi 1, sehingga nulitasnya adalah 1. Sedangkan range dari proyeksi ortogonal ke bidang XOY adalah bidang XOY, yang mana berdimensi 2, sehingga rank nya adalah 2.

8. Rank dan Nulitas dari Transformasi Matriks

Ingat kembali bahwa jika A adalah matriks m × n dan T: Rn → Rm adalah perkalian dengan A, maka kita tahu bahwa kernel dari T adalah ruang nol dari A dan range dari T adalah ruang kolom dari A. Dengan demikian, kita memiliki hubungan berikut antara rank dan nulitas dari sebuah matriks dan rank dan nulitas dari transformasi linear yang bersesuaian.

Jika A adalah matriks m × n dan T: Rn → Rm adalah perkalian dengan A, maka

(a) Nulitas dari T sama dengan nulitas dari A

(b) Rank dari T sama dengan rank dari A

9. Hubungan Rank dan Nulitas

Jika T: V → W adalah transformasi linear dari ruang vektor V berdimensi n ke ruang vektor W, maka rank(T) + nulitas(T) = n.