Kerucut Lingkaran Tegak

• Kerucut lingkaran tegak adalah kerucut yang penampangnya berbentuk lingkaran (penampang ini disebut sebagai lingkaran dasar) dan porosnya tegak lurus dengan lingkaran dasar.

• Sudut antara poros dan garis pelukis adalah sama untuk setiap garis pelukis.

Langkah-langkah untuk menentukan persamaan kerucut lingkaran tegak:

1. Tentukan bilangan arah poros

2. Tentukan bilangan arah garis pelukis

Langkah 1 dan 2 tidak harus urut, yang terpenting kedua bilangan arahnya diperoleh, selanjutnya langkah ketiga:

3. Tentukan kosinus sudut antara poros dan garis pelukis (gunakan perkalian titik vektor)

Sampai disini kita telah memperoleh salahsatu bentuk untuk kosinusnya.

4. Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) pada lingkaran dasar

5. Buat bidang melalui P tegak lurus poros, misalnya bidang V

sehingga bilangan arah bidang sebanding dengan bilangan arah poros.

6. Tentukan jarak dari titik puncak T ke bidang V

7. Tentukan jarak dari titik puncak T ke titik P

8. Kosinus sudut antara poros dan garis pelukis adalah jarak dari T ke bidang V dibagi jarak dari T ke titik P.

9. Sama dengankan kedua kosinus yang masing-masing dikuadratkan

10. Jalankan

Contoh:

1. Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang puncaknya T(2, 3, 1), poros sejajar dengan garis −𝑥 = 𝑦/2 = 𝑧 dan salah satu garis pelukisnya memiliki arah (1, −1, 1).

• Bilangan arah poros adalah (−1, 2, 1) dan bilangan arah garis pelukis adalah (1, −1, 1), kosinus sudut antara keduanya adalah:

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) pada lingkaran dasar, buat bidang V melalui P tegak lurus poros
V: −1(x − x₀) + 2(y − y₀) + 1(z − z₀) = 0

V: −x + 2y + z + x₀ − 2y₀ − z₀ = 0

• Tentukan jarak titik puncak T ke bidang V

• Tentukan jarak titik puncak T ke titik P

• Kosinus sudut 𝛼 adalah:

• Sama dengankan kedua kosinus yang masing-masing dikuadratkan

4[(x₀ − 2)² + (y₀ − 3)² + (z₀ − 1)²] = 3(x₀ − 2y₀ − z₀ + 5)², jalankan

4[(x − 2)² + (y − 3)² + (z − 1)²] = 3(x − 2y − z + 5)²

4(x² + y² + z² − 4x − 6y − 2z + 14) = 3(x² + 4y² + z² − 4xy − 2xz + 4yz + 10x − 20y − 10z + 25)

4x² + 4y² + 4z² − 16x − 24y − 8z + 56 = 3x² + 12y² + 3z² − 12xy − 6xz + 12yz + 30x − 60y − 30z + 75

x² − 8y² + z² + 12xy + 6xz − 12yz − 46x + 36y + 22z − 19 = 0

2. Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang melalui ketiga sumbu koordinat.

• Kerucut melalui ketiga sumbu koordinat, berarti ketiganya merupakan garis pelukis, dan titik O(0, 0, 0) merupakan titik puncak.

• Bilangan arah sumbu x adalah (1, 0, 0), sumbu y adalah (0, 1, 0), sumbu z adalah (0, 0, 1)

• Misal bilangan arah sumbu adalah (a, b, c), karena ketiga sumbu koordinat merupakan garis pelukis, kosinus sudutnya harus sama

diharuskan a = b = c, misal dipilih a = 1, bilangan arah poros adalah (1, 1, 1) dan kosinusnya

• Misal titik P(x₀, y₀, z₀) pada lingkaran dasar, buat bidang V melalui P tegak lurus poros
V: x − x₀ + y − y₀ + z − z₀ = 0

V: x + y + z − x₀ − y₀ − z₀ = 0

• Kosinus sudut 𝛼 adalah jarak O ke V dibagi jarak O ke P

• Sama dengankan kedua kosinus yang masing-masing dikuadratkan

(x₀ + y₀ + z₀)² = x₀² + y₀² + z₀², jalankan

(x + y + z)² = x₀² + y₀² + z₀²

2xy + 2xz + 2yz = 0, bagi 2

xy + xz + yz = 0