Matriks Transformasi Linear Umum
1. Matriks Transformasi Linear
Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi n dan W adalah ruang vektor berdimensi m. Jika kita memilih basis B untuk V dan basis B' untuk W, maka untuk setiap vektor x dalam V, vektor koordinat [x]B akan menjadi vektor dalam Rn, dan vektor koordinat [T(x)]B' akan menjadi vektor dalam Rm.
Misalkan T: V → W adalah suatu transformasi linear. Kita mendapatkan suatu pemetaan dari Rn ke Rm yang dapat ditunjukkan sebagai transformasi linear. Jika kita misalkan A sebagai matriks standar untuk transformasi ini, maka
A[x]B = [T(x)]B'
Matriks A disebut sebagai matriks untuk T terhadap basis B dan B'.
Kita akan membahas beberapa penggunaan matriks A. Namun, pertama-tama, mari kita lihat bagaimana cara menghitungnya. Misalkan B = {u₁, u₂, ..., uₙ} adalah basis untuk ruang V berdimensi n, dan B' = {v₁, v₂, ..., vₘ} adalah basis untuk ruang W berdimensi m. Kita mencari sebuah matriks m × n,
A[u₁]B = [T(u₁)]B', A[u₂]B = [T(u₂)]B', ..., A[uₙ]B = [T(uₙ)]B'
Sedangkan,
A = [[T(u₁)]B'|[T(u₂)]B'|...|[T(uₙ)]B']
Matriks ini juga dapat dinotasikan dengan [T]B',B, sehingga dapat dituliskan:
[T]B',B = [[T(u₁)]B'|[T(u₂)]B'|...|[T(uₙ)]B']
dan dapat disingkat menjadi
[T]B',B[x]B = [T(x)]B'
Catatan: Perhatikan bahwa dalam notasi [T]B',B, indeks bawah kanan adalah basis untuk domain dari T, dan indeks bawah kiri adalah basis untuk ruang bayangan dari T. Selain itu, perhatikan bagaimana indeks B sepertinya "hilang".
Contoh Soal:
Diberikan transformasi linear dari R2 ke R3 dengan:
Kenakan T pada u₁ dan u₂ yang ada di B, diperoleh:
T(u₁) = v₁ − 2v₃, T(u₂) = 3v₁ + v₂ − v₃, sehingga koordinat relatifnya adalah
2. Matriks Operator Linear
Dalam kasus khusus di mana W = V (sehingga T: V → V adalah operator linear), biasanya kita mengambil B = B' ketika membangun matriks untuk T. Dalam hal ini, matriks yang dihasilkan disebut matriks untuk T terhadap basis B dan biasanya dinotasikan dengan [T]B alih-alih [T]B',B. Jika B = {u₁, u₂, ..., uₙ}, maka dapat dituliskan
[T]B = [[T(u₁)]B|[T(u₂)]B|...|[T(uₙ)]B]
dan
[T]B[x]B = [T]B
Matriks untuk T dikalikan dengan vektor koordinat untuk x sama dengan vektor koordinat untuk T(x).
3. Kasus Khusus untuk Transformasi terhadap Basis Standar
Jika T: ℝⁿ → ℝᵐ adalah transformasi linear, dan jika B dan B' adalah basis standar untuk ℝⁿ dan ℝᵐ masing-masing, maka [T]B',B = [T].
Ini memberi tahu kita bahwa dalam kasus khusus di mana T memetakan ℝⁿ ke ℝᵐ, matriks untuk T dengan memperhatikan basis standar adalah matriks standar untuk T. Dalam kasus khusus ini, formula pada bagian ini menjadi [T]x = T(x).
4. Pentingnya Matriks Transformasi Linear
Ada dua alasan utama mengapa kita mempelajari matriks dalam konteks transformasi linear yang lebih umum, yaitu alasan teoretis dan praktis:
Alasan Teoretis: Dengan mempelajari transformasi linear dalam bentuk matriks, kita seringkali dapat menemukan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan mendasar tentang struktur dari transformasi linear itu sendiri, terutama pada ruang vektor berdimensi hingga. Materi ini akan dibahas lebih mendalam pada aljabar linear yang lebih lanjut, namun kita akan sedikit menyinggungnya di bagian-bagian selanjutnya.
Alasan Praktis: Matriks memungkinkan kita untuk menghitung hasil transformasi dari suatu vektor dengan sangat cepat menggunakan perkalian matriks. Perhitungan semacam ini dapat dilakukan dengan sangat cepat oleh komputer.
5. Prosedur Tak Langsung untuk Menentukan Matriks Transformasi Linear
Misalkan T: V → W adalah transformasi linear. Matriks [T]B',B dapat digunakan untuk menghitung T(x) dalam tiga langkah melalui prosedur tidak langsung berikut:
1. Hitung vektor koordinat [x]B
2. Kalikan [x]B dari kiri dengan [T]B',B untuk menghasilkan [T(x)]B'.
3. Rekonstruksi T(x) dari vektor koordinatnya [T(x)]B'.
Contoh Soal
Misalkan T: P₂ → P₂ adalah operator linear yang didefinisikan oleh T(p(x)) = p(3x − 5). Temukan [T]B relatif terhadap basis B = {1, x, x²}, lalu hitung T(1 + 2x + 3x²) secara tak langsung.
Kenakan T pada B
T(1) = 1, T(x) = 3x − 5, T(x²) = (3x − 5)² = 9x² − 30x + 25
Koordinat relatifnya adalah
sehingga dapat disusun menjadi
[T(p)]B = [T]B[p]B
6. Matriks Komposisi dan Invers Transformasi
A. Matriks Komposisi Transformasi
Jika T₁: U → V dan T₂: V → W adalah transformasi linear, dan jika B, B'', dan B' adalah basis untuk U, V, dan W masing-masing, maka
[T₂ ∘ T₁]B',B = [T₂]B',B'' · [T₁]B'',B
Perhatikan, bagaimana subskrip dalam B'' (yang merupakan basis untuk ruang antara V) seolah-olah 'hilang', sehingga hanya menyisakan basis untuk domain dan ruang hasil dari komposisi sebagai subskrip. Pembatalan subskrip dalam ini menunjukkan perluasan berikut untuk komposisi dari tiga transformasi linear.
[T₃ ∘ T₂ ∘ T₁]B',B = [T₃]B',B''' · [T₂]B''',B'' · [T₁]B'',B
Komposisi ini dapat terus diperluas untuk transformasi yang lebih banyak lagi.
B. Matriks Invers Operator Linear
Jika T: V → V adalah operator linear, dan jika B adalah basis untuk V, maka pernyataan berikut ini ekuivalen:
(a) T adalah satu-satu.
(b) [T]B dapat dibalik.
Lebih lanjut, ketika kondisi-kondisi ekuivalen ini terpenuhi, berlaku:
[T⁻¹]B = [T]B⁻¹
Komentar
Posting Komentar