Matriks untuk Rumus Similaritas (Geotrans)

1. Rumus Umum Similaritas dan Isometri

Suatu similaritas atau isometri secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

Untuk p² + q² = 1, matriks ini merupakan rumus isometri.

Untuk p² + q² = k², matriks ini merupakan rumus similaritas dengan faktor k.

Berikut beberapa kasus khusus dari isometri maupun similaritas:

a. Rumus Transformasi Identitas

Suatu transformasi identitas memiliki matriks pengalinya merupakan matriks identitas dan dijumlahkan dengan matriks nol.

b. Rumus Geseran

Suatu geseran memiliki matriks pengalinya merupakan matriks identitas dan dijumlahkan dengan matriks taknol. Vektor geserannya adalah (m, n).

c. Rumus Setengah Putaran

Suatu setengah putaran secara umum memiliki matriks berikut:

Dalam bentuk ini, pusatnya adalah (½m, ½n).

d. Rumus Matriks Rotasi

Matriks rotasi memiliki 3 kriteria, yaitu:

• Kedua elemen diagonal utama adalah sama

• Kedua elemen lainnya berlawanan tanda

• Determinannya adalah 1

Pusatnya adalah:

e. Rumus Matriks Refleksi atau Refleksi Geser

Matriks refleksi atau refleksi geser memiliki 3 kriteria, yaitu:
• Kedua elemen diagonal utama berlawanan tanda

• Kedua elemen lainnya adalah sama

• Determinannya adalah –1.

f. Rumus Matriks Dilatasi

Dalam bentuk ini, pusatnya adalah (a, b) dan faktornya k.

2. Komposisi Dilatasi dan Isometri yang Komutatif

Hasil komposisi suatu dilatasi dengan suatu isometri adalah suatu similaritas. Terdapat kasus khusus dimana komposisi dilatasi dan isometri menjadi komutatif, yaitu rotasi dilatif dan refleksi dilatif.

A. Rotasi Dilatif / Similaritas Spiral

Rotasi dilatif atau similaritas spiral adalah komposisi dari rotasi dan dilatasi yang sepusat. Komposisi ini bersifat komutatif, yang berarti baik rotasi dahulu maupun dilatasi dahulu hasil komposisinya sama.

R_P,αD_P,k = D_P,kR_P,α 

similaritas tersebut merupakan similaritas searah atau langsung dan mempunyai titik invarian P.

Misal P(a, b), rumus untuk R_P,α dan D_P,k masing-masing adalah:

Komposisi R_P,αD_P,k menghasilkan

Komposisi D_P,kR_P,α menghasilkan

Kedua komposisi R_P,αD_P,k dan D_P,kR_P,α menghasilkan hasil yang sama.

B. Refleksi Dilatif

Refleksi dilatif adalah hasil komposisi dari refleksi dan dilatasi yang mana pusat dilatasi terletak di sumbu refleksi. Komposisi ini bersifat komutatif, yang berarti baik refleksi dahulu maupun dilatasi dahulu hasil komposisinya sama.

M_sD_P,k = D_P,kM_s dengan P terletak di s.

Similaritas tersebut merupakan similaritas berlawanan dan mempunyai titik invarian P.

Garis invarian dari similaritas ini adalah garis s dan garis yang melalui P tegak lurus s.