Persamaan Bidang Singgung Ellipsoid

1. Bidang Singgung Ellipsoid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Ellipsoid yang Berpusat di O(0, 0, 0)

Suatu ellipsoid yang berpusat di O(0, 0, 0) umumnya memiliki persamaan

Misal titik P(x₁, y₁, z₁) terletak pada ellipsoid, dipenuhi:

Misal garis melalui P dengan bilangan arah (d, e, f), persamaan garis dalam parameter:

x – x₁ = 𝜆d,    y – y₁ = 𝜆e,    z – z₁ = 𝜆f, dengan 𝜆 parameter

Jika kita cari titik-titik potong garis lurus ini dengan elipsoida, maka kita temukan nilai parameter 𝜆 itu dari persamaan:

Agar menyinggung diharuskan 𝜆₁ = 0 dan 𝜆₂ = 0.

Jika 𝜆₁ = 0 ditemukan titik potong (x, y, z) = (x₁, y₁, z₁), sederhanakan persamaan menjadi:

Jika 𝜆₂ = 0 akan diperoleh persamaan:

dan dalam hal ini garis lurus itu adalah garis singgung pada bidang tersebut.

Tempat kedudukan garis-garis singgung ini di titik (x₁, y₁, z₁) kita temukan dengan pelenyapan d, e, f dan 𝜆 dari persamaan ini dan persamaan garis lurus itu. Ini memberikan:

Tempat kedudukan garis-garis singgung di titik (x₁, y₁, z₁) dari elipsoida adalah sebuah bidang singgung di titik tersebut. Jadi, persamaan bidang singgung ellipsoid yang berpusat di O(0, 0, 0) melalui titik P(x₁, y₁, z₁) pada ellipsoid adalah:

2. Bidang Singgung Ellipsoid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Ellipsoid yang Berpusat di M(a, b, g)

Misal suatu ellipsoid berpusat di O(0, 0, 0), pusatnya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser. Misal titik P(x₁, y₁, z₁) pada ellipsoid, persamaan bidang singgung ellipsoid melalui P adalah:

3. Bidang Singgung Ellipsoid yang Berpusat di O(0, 0, 0) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

• Misal persamaan ellipsoid adalah

• Persamaan bidang singgung melalui titik P(x₁, y₁, z₁) pada ellipsoid adalah:

bilangan arahnya (x₁/a², y₁/b², z₁/c²)

• Misal bilangan arah bidang singgung diketahui (A, B, C), diharuskan sebanding dengan (x₁/a², y₁/b², z₁/c²), berlaku perbandingan:

x₁/(a²A) = y₁/(b²B) = z₁/(c²C) = k, dengan k sebagai skala pembanding

kita dapat menuliskan:

x₁ = ka²A,    y₁ = kb²B,    z₁ = kc²C, masukkan ke persamaan ellipsoida

k²A²a² + k²B²b² + k²C²c² = 1

k²(A²a² + B²b² + C²c²) = 1

A²a² + B²b² + C²c² = 1/k²

• Masukkan x₁ = ka²A,    y₁ = kb²B,    z₁ = kc²C ke persamaan bidang singgung

kAx + kBy + kCz = 1, bagi dengan k

Ax + By + Cz = 1/k

Persamaan bidang singgungnya juga boleh dituliskan:

4. Bidang Singgung Ellipsoid yang Berpusat di M(a, b, g) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

Misal suatu ellipsoid berpusat di O(0, 0, 0), pusatnya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser. Persamaan bidang singgungnya dengan bilangan arah (A, B, C) adalah:

Contoh:

Tentukan persamaan bidang singgung ellipsoid 6x² + 5y² + 3z² = 60 yang tegak lurus dengan garis 7x + 10y – 30 = 0, 5y – 3z = 0.

Ellipsoid 6x² + 5y² + 3z² = 60, buat ruas kanan menjadi 1

x²/10 + y²/12 + z²/20 = 1,    a² = 10, b² = 12, c² = 20, pusat O(0, 0, 0)

Perhatikan garis 7x + 10y – 30 = 0, 5y – 3z = 0.

Bilangan arah garis ini adalah (7, 10, 0) × (0, 5, –3) = (–30, 21, 35)

Karena bidang singgung tegak lurus garis, bilangan arahnya sebanding, buat bidang singgung ellipsoid dengan bilangan arah (–30, 21, 35).

–30x + 21y + 35z ± √(A²a² + B²b² + C²c²) = 0

–30x + 21y + 35z ± √(900.10 + 441.12 + 1225.20) = 0

–30x + 21y + 35z ± √(38792) = 0

Terdapat dua bidang singgung, yaitu –30x + 21y + 35z + √(38792) = 0 dan –30x + 21y + 35z – √(38792) = 0.