Persamaan Bidang Singgung Hiperboloid Satu Lembar

1. Bidang Singgung Hiperboloid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Hiperboloid yang Berpusat di O(0, 0, 0)

Suatu hiperboloid yang berpusat di O(0, 0, 0) dengan dua sumbu real x dan y dan satu sumbu imajiner z umumnya memiliki persamaan:

Secara analog dari persamaan bidang singgung ellipsoid, jika diterapkan pada hiperboloid satu lembar, persamaan bidang singgung hiperboloid satu lembar melalui titik P(x₁, y₁, z₁) pada hiperboloid adalah:

2. Bidang Singgung Hiperboloid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Hiperboloid yang Berpusat di M(a, b, g)

Misal suatu hiperboloid berpusat di O(0, 0, 0), pusatnya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser. Misal titik P(x₁, y₁, z₁) pada hiperboloid, persamaan bidang singgung hiperboloid melalui P adalah:

3. Bidang Singgung Hiperboloid yang Berpusat di O(0, 0, 0) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

• Misal persamaan hiperboloid adalah

• Persamaan bidang singgung melalui titik P(x₁, y₁, z₁) pada hiperboloid adalah:

bilangan arahnya (x₁/a², y₁/b², –z₁/c²)

• Misal bilangan arah bidang singgung diketahui (A, B, C), diharuskan sebanding dengan (x₁/a², y₁/b², –z₁/c²), berlaku perbandingan:

x₁/(a²A) = y₁/(b²B) = –z₁/(c²C) = k, dengan k sebagai skala pembanding

kita dapat menuliskan:

x₁ = ka²A,    y₁ = kb²B,    z₁ = –kc²C, masukkan ke persamaan hiperboloida

k²A²a² + k²B²b² – k²C²c² = 1

k²(A²a² + B²b² – C²c²) = 1

A²a² + B²b² – C²c² = 1/k²

• Masukkan x₁ = ka²A,    y₁ = kb²B,    z₁ = –kc²C ke persamaan bidang singgung

kAx + kBy + kCz = 1, bagi dengan k

Ax + By + Cz = 1/k

4. Bidang Singgung Hiperboloid yang Berpusat di M(a, b, g) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

Misal suatu hiperboloid satu lembar berpusat di O(0, 0, 0), pusatnya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser. Persamaan bidang singgungnya dengan bilangan arah (A, B, C) adalah:

Contoh:

Tentukan bidang singgung hiperboloid satu lembar 7x² – 3y² – z² + 21 = 0 yang tegak lurus dengan garis 7x – 6y + 9 = 0, z = 3.

Persamaan hiperboloid 7x² – 3y² – z² + 21 = 0, pindahkan konstanta ke ruas kanan

7x² – 3y² – z² = –21, buat ruas kanan bernilai positif

–7x² + 3y² + z² = 21, buat ruas kanan menjadi 1

–x²/3 + y²/7 + z²/21 = 1

Pusatnya O(0, 0, 0), a² = 3, b² = 7, c² = 21.

Perhatikan garis 7x – 6y + 9 = 0, z = 3

bilangan arah garis adalah (7, –6, 0) × (0, 0, 1) = (–6, –7, 0) ~ (6, 7, 0)

Karena bidang singgung tegak lurus garis, bilangan arahnya sebanding, buat bidang singgung hiperboloid satu lembar dengan bilangan arah (6, 7, 0).

6x + 7y ± √(–A²a² + B²b² + C²c²) = 0

6x + 7y ± √(–6².3 + 7².7 + 0.21) = 0

6x + 7y ± √(235) = 0

Jadi terdapat dua bidang singgung, yaitu 6x + 7y + √(235) = 0 dan 6x + 7y – √(235) = 0.