Persamaan Bidang Singgung Paraboloid Elliptik

1. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0)

CALCULUS REQUIRED!

• Suatu paraboloid elliptik umumnya memiliki persamaan:

• Buat ruas kanan menjadi 0

• Persamaan ini sudah dalam bentuk f(x, y, z) = 0. Gradien garis singgung dapat ditentukan menggunakan turunan parsial pertama, yaitu:

f_x(x, y, z) = 2x/a²,    f_y(x, y, z) = 2y/b²,    f_z(x, y, z) = –2p/a²

Gradiennya adalah (2x/a², 2y/b², –2p/a²), sederhanakan menjadi (x/a², y/b², –p/a²)

• Misal titik P(x₁, y₁, z₁) terletak pada paraboloid elliptik, gradiennya menjadi (x₁/a², y₁/b², –p/a²)

• Persamaan bidang melalui P(x₁, y₁, z₁) dengan bilangan arah (x₁/a², y₁/b², –p/a²):

• Karena P(x₁, y₁, z₁) terletak pada paraboloid elliptik, persamaannya menjadi:

Bentuk terakhir ini adalah persamaan bidang singgung paraboloid elliptik melalui titik P(x₁, y₁, z₁) yang terletak pada paraboloid elliptik.

2. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Paraboloid yang Puncaknya di M(a, b, g)

Misal suatu paraboloid elliptik puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser, sehingga persamaannya menjadi:

3. Bidang Singgung Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

• Misal persamaan paraboloid adalah

• Persamaan bidang singgung melalui titik P(x₁, y₁, z₁) pada paraboloid adalah:

bilangan arahnya (x₁/a², y₁/b², –p/a²)

• Misal bilangan arah bidang singgung diketahui (A, B, C), diharuskan sebanding dengan (x₁/a², y₁/b², –p/a²), berlaku perbandingan:

x₁/(a²A) = y₁/(b²B) = –p/(a²C) = k, dengan k sebagai skala pembanding

kita dapat menuliskan:

x₁ = kAa²,    y₁ = kBb²

• Masukkan x₁ = kAa²,    y₁ = kBb²,    p = –kCa² ke persamaan bidang singgung

Masukkan k kesini

Bentuk ini adalah persaman bidang singgung paraboloid elliptik dengan bilangan arah (A, B, C)

4. Bidang Singgung Paraboloid yang Puncaknya di M(a, b, g) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

Misal suatu paraboloid elliptik puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser. Persamaan bidang singgungnya dengan bilangan arah (A, B, C) adalah: