Persamaan Bidang Singgung Paraboloid Hiperbolik

1. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0)

CALCULUS REQUIRED!

• Suatu paraboloid hiperbolik umumnya memiliki persamaan:

• Buat ruas kanan menjadi 0

• Persamaan ini sudah dalam bentuk f(x, y, z) = 0. Gradien garis singgung dapat ditentukan menggunakan turunan parsial pertama, yaitu:

f_x(x, y, z) = 2x/a²,    f_y(x, y, z) = –2y/b²,    f_z(x, y, z) = –2p/a²

Gradiennya adalah (2x/a², –2y/b², –2p/a²), sederhanakan menjadi (x/a², –y/b², –p/a²)

• Misal titik P(x₁, y₁, z₁) terletak pada paraboloid hiperbolik, gradiennya menjadi (x₁/a², –y₁/b², –p/a²)

• Persamaan bidang melalui P(x₁, y₁, z₁) dengan bilangan arah (x₁/a², –y₁/b², –p/a²):

• Karena P(x₁, y₁, z₁) terletak pada paraboloid hiperbolik, persamaannya menjadi:

Bentuk terakhir ini adalah persamaan bidang singgung paraboloid hiperbolik melalui titik P(x₁, y₁, z₁) yang terletak pada paraboloid hiperbolik.

2. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P(x₁, y₁, z₁) pada Paraboloid yang Puncaknya di M(a, b, g)

Misal suatu paraboloid hiperbolik puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser, sehingga persamaannya menjadi:

3. Bidang Singgung Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

• Misal persamaan paraboloid adalah

• Persamaan bidang singgung melalui titik P(x₁, y₁, z₁) pada paraboloid adalah:

bilangan arahnya (x₁/a², –y₁/b², –p/a²)

• Misal bilangan arah bidang singgung diketahui (A, B, C), diharuskan sebanding dengan (x₁/a², –y₁/b², –p/a²), berlaku perbandingan:

x₁/(a²A) = –y₁/(b²B) = –p/(a²C) = k, dengan k sebagai skala pembanding

kita dapat menuliskan:

x₁ = kAa²,    –y₁ = kBb²

• Masukkan x₁ = kAa²,    y₁ = –kBb²,    p = –kCa² ke persamaan bidang singgung

Masukkan k kesini

Bentuk ini adalah persaman bidang singgung paraboloid hiperbolik dengan bilangan arah (A, B, C)

4. Bidang Singgung Paraboloid yang Puncaknya di M(a, b, g) dengan Bilangan Arah (A, B, C)

Misal suatu paraboloid hiperbolik puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser. Persamaan bidang singgungnya dengan bilangan arah (A, B, C) adalah: