Persamaan Ellipsoid

1. Persamaan Ellipsoid dengan Pusat O(0, 0, 0)

Pada bidang XOY ditentukan sebuah elips dengan persamaan-persamaan:

dan di bidang XOZ sebuah ellips:

Kita misalkan elips di bidang XOY pindah sejajar dengan dirinya sendiri, sebangun dan juga titik pusatnya tetap pada sumbu Z dan puncak-puncaknya yang terletak di bidang XOZ tetap pada elips yang ditentukan di bidang tersebut.

Kita akan menentukan persamaan bidang yang dilalui oleh elips yang bergerak itu.

Misalkan z = l (l = parameter) adalah bidang elips E₃ yang bergerak. Sumbu elips tersebut yang terletak di bidang XOZ, kita temukan dengan menentukan x dari persamaan:

Setelah kita mengganti di dalamnya z = l. Ini memberikan untuk setengah sumbu:

Karena elips yang bergerak harus sebangun dengan elips yang ditentukan pada bidang XOY, maka perbandingan setengah sumbu-sumbu elips yang bergerak itu a : b.

Jadi setengah sumbu yang lain adalah:

Jadi elips yang bergerak dapat kita nyatakan dengan persamaan-persamaan:

Pindahkan sebagian ruas kiri ke ruas kanan

Masukkan z = l

Jadi, bentuk umum ellipsoid berpusat di O(0, 0, 0) adalah:

Kasus khusus ketika a = b = c ellipsoid menjadi bola.

Keterangan:

• Ellipsoid ini berpusat di O(0, 0, 0)

• Ellipsoid ini memiliki 3 bidang simetri, yaitu XOY, XOZ, dan YOZ

• Ellipsoid ini memiliki 3 sumbu simetri, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z

• Ellipsoid ini memiliki 6 titik puncak, yaitu (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c)

2. Persamaan Ellipsoid dengan Pusat M(a, b, g)

Misal suatu ellipsoid berpusat di O(0, 0, 0), pusatnya digeser ke M(a, b, g), posisi relatifnya akan tergeser, sehingga persamaannya menjadi:

Keterangan:

• Ellipsoid ini berpusat di M(a, b, g)

• Ellipsoid ini memiliki 3 bidang simetri, yaitu bidang x = a, y = b, dan z = g.

• Ellipsoid ini memiliki 3 sumbu simetri, yaitu perpotongan dari bidang-bidang simetri.

• Ellipsoid ini memiliki 6 titik puncak, yaitu (a ± a, b, g), (a, b ± b, g), (a, b, g ± c)