Similaritas / Keserupaan Matriks (Alvek)

Basis standar tidak selalu menghasilkan matriks paling sederhana untuk operator linear. Sebagai contoh, pertimbangkan operator linear T: R2 → R2 yang didefinisikan oleh

dan basis standar B = {e₁, e₂} untuk R2, dengan

Matriks untuk T sehubungan dengan basis ini adalah matriks standar untuk T, yaitu,

[T]_B = [T] = [T(e₁) | T(e₂)]

Kenakan T pada B menjadi

Sehingga

Sebagai perbandingan, misal

maka matriks untuk T sehubungan dengan basis B' = {u₁, u₂} adalah matriks diagonal

Matriks ini "lebih sederhana" daripada matriks sebelumnya karena matriks diagonal memiliki sifat-sifat khusus yang tidak dimiliki oleh matriks umum.

Salah satu tema utama dalam aljabar linear tingkat lanjut adalah menentukan "bentuk paling sederhana" yang dapat diperoleh untuk matriks suatu operator linear dengan memilih basis yang tepat. Terkadang kita bisa mendapatkan matriks diagonal (seperti contoh di atas), tetapi seringkali kita harus puas dengan matriks segitiga atau bentuk lainnya. Dalam teks ini, kita hanya akan membahas sedikit tentang topik penting ini.

Masalah menemukan basis yang menghasilkan matriks paling sederhana untuk suatu operator linear T: V → V dapat diatasi dengan terlebih dahulu menemukan matriks untuk T relatif terhadap basis apa pun, misalnya basis standar jika memungkinkan, lalu mengubah basis dengan cara yang menyederhanakan matriks. Sebelum melanjutkan ide ini, akan berguna untuk meninjau kembali beberapa konsep tentang mengubah basis.

Ingat kembali bahwa jika himpunan B = {u₁, u₂, ..., uₙ} dan B' = {u₁', u₂', ..., uₙ'} adalah basis untuk ruang vektor V, maka matriks transisi dari B ke B' diberikan oleh rumus

P = [[u₁']_B | [u₂']_B | ... | [uₙ']_B]

Matriks ini memiliki sifat bahwa untuk setiap vektor v dalam V,

P[v]_B' = [v]_B 

Artinya, perkalian dengan matriks P memetakan matriks koordinat untuk v relatif terhadap basis B' ke matriks koordinat untuk v relatif terhadap basis B. Kita telah menunjukkan bahwa P dapat dibalik dan P⁻¹ adalah matriks transisi dari B ke B'.

1. Matriks Transisi

Jika B dan B' adalah basis untuk ruang vektor V berdimensi hingga, dan jika I: V → V adalah operator identitas, maka matriks transisi dari B' ke B adalah [I]_B,B'.

Misalkan B = {u₁, u₂, ..., uₙ} dan B' = {v₁, v₂, ..., vₙ} adalah basis untuk V. Dengan menggunakan fakta bahwa I(v) = v untuk setiap v di V, maka dengan menukar B dan B', diperoleh:

[I]_B,B' = [[I(u₁')]_B | [I(u₂')]_B | ... | [I(uₙ')]_B] = [[u₁']_B | [u₂']_B | ... | [uₙ']_B]

Dengan demikian, kita memiliki [I]_B,B' = P, yang menunjukkan bahwa [I]_B,B' adalah matriks transisi dari B' ke B.

2. Perubahan Basis pada Matriks Operator Linear

Masalah: Jika B dan B' adalah dua basis untuk ruang vektor berdimensi hingga V, dan jika T: V → V adalah operator linear, maka hubungan apa, jika ada, antara matriks [T]_B dan [T]_B' ?

Jawaban atas pertanyaan ini dapat diperoleh dengan mempertimbangkan komposisi dari tiga operator linear pada V yang digambarkan sebagai berikut:

Dalam gambar ini, v pertama kali dipetakan ke dirinya sendiri oleh operator identitas, kemudian v dipetakan ke T(v) oleh T, lalu T(v) dipetakan ke dirinya sendiri oleh operator identitas. Keempat ruang vektor yang terlibat dalam komposisi adalah sama (yaitu, V); namun, basis untuk ruang-ruang tersebut berbeda. Karena vektor awal adalah v dan vektor akhir adalah T(v), maka komposisinya sama dengan T, yaitu:

T = I ∘ T ∘ I

Jika, seperti yang digambarkan, ruang vektor pertama dan terakhir diberikan basis B' dan dua ruang vektor di tengah diberikan basis B, maka dengan penyesuaian nama basis yang sesuai diperoleh:

[T]_B',B' = [I ∘ T ∘ I]_B',B' = [I]_B',B[T]_B,B[I]_B,B' 

atau, dalam notasi yang lebih sederhana:

[T]_B' = [I]_B',B[T]_B[I]_B,B' 

Tetapi, kita tahu bahwa [I]_B',B adalah matriks transisi dari B' ke B dan akibatnya, [I]_B,B' adalah matriks transisi dari B ke B'. Jadi, jika kita misalkan P = [I]_B,B', maka P⁻¹ = [I]_B',B, sehingga dapat ditulis sebagai:

[T]_B' = P⁻¹[T]_BP

Hal ini dapat dirangkum menjadi:

"Misalkan T: V → V adalah suatu operator linear pada ruang vektor berdimensi hingga V, dan misalkan B dan B' adalah dua basis untuk V. Maka:

[T]_B' = P⁻¹[T]_BP

di mana P adalah matriks transisi dari B' ke B."

Peringatan: Ketika menerapkan, sering kali mudah untuk lupa apakah P adalah matriks transisi dari B ke B' (salah) atau dari B' ke B (benar). Seperti yang ditunjukkan pada gambar, mungkin lebih mudah dengan mengingat bahwa ketiga subskrip "dalam" adalah sama dan kedua subskrip "luar" juga sama. Setelah Anda menguasai pola yang ditunjukkan dalam gambar ini, Anda hanya perlu mengingat bahwa P = [I]_B,B' adalah matriks transisi dari B' ke B dan bahwa P⁻¹ = [I]_B',B adalah inversnya.

Ingat kembali permasalahan di awal, dimana operator linear T: R2 → R2 yang didefinisikan oleh

dan basis standar B = {e₁, e₂} untuk R2. Ketika T dikenakan pada B, diperoleh:

Matriks ini memiliki dua nilai eigen, yaitu 2 dan 3.

Nilai eigen 𝜆 = 2 bersesuaian dengan vektor eigen u₁ dan nilai eigen 𝜆 = 3 bersesuaian dengan vektor eigen u₂, sehingga matriks transisi dari B' ke B adalah

Invers dari P adalah

Matriks transformasi T relatif terhadap B' adalah

3. Similaritas / Keserupaan

Misal matriks A dan B merupakan matriks persegi. Matriks B dikatakan serupa dengan A jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sedemikian sehingga B = P⁻¹AP.

Selanjutnya kalikan masing-masing ruas dengan P dari kiri menjadi

PB = PP⁻¹AP = IAP = AP, kalikan masing-masing ruas dengan P⁻¹ dari kanan

PBP⁻¹ = APP⁻¹ = AI = A.

Jadi, jika B = P⁻¹AP maka A = PBP⁻¹.

4. Unsur Invarian dari Similaritas

Sifat matriks persegi dikatakan invarian keserupaan atau invarian di bawah transformasi keserupaan jika sifat tersebut dipertahankan oleh dua matriks yang serupa.

Berikut tabel invarian keserupaan:

Sifat	Deskripsi
Determinan	Matriks A dan P⁻¹AP memiliki determinan yang sama.
Invertibilitas	Matriks A dapat dibalik jika dan hanya jika matriks P⁻¹AP dapat dibalik.
Rank	Matriks A dan P⁻¹AP memiliki rank yang sama.
Nulitas	Matriks A dan P⁻¹AP memiliki nulitas yang sama.
Trace	Matriks A dan P⁻¹AP memiliki trace yang sama.
Polinomial karakteristik	Matriks A dan P⁻¹AP memiliki polinomial karakteristik yang sama.
Nilai Eigen	Matriks A dan P⁻¹AP memiliki nilai eigen yang sama.
Dimensi Ruang Eigen	Jika λ adalah nilai eigen dari A dan P⁻¹AP, maka ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan λ dan ruang eigen dari P⁻¹AP yang bersesuaian dengan λ memiliki dimensi yang sama.

Dua matriks yang merepresentasikan operator linear yang sama T: V → W terhadap basis yang berbeda adalah serupa. Dengan demikian, jika B adalah basis untuk V dan matriks [T]_B memiliki suatu sifat yang invarian terhadap keserupaan, maka untuk setiap basis B', matriks [T]_B' memiliki sifat yang sama. Misalnya, untuk dua basis B dan B' manapun, kita memiliki:

det([T]_B) = det([T]_B')

Dari persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai determinan bergantung pada T, tetapi tidak pada basis khusus yang digunakan untuk memperoleh matriks T. Dengan demikian, determinan dapat dianggap sebagai suatu sifat dari operator linear T. Bahkan, jika V adalah ruang vektor berdimensi hingga, maka kita dapat mendefinisikan determinan dari operator linear T sebagai:

det(T) = det([T]_B) 

di mana B adalah basis sembarang untuk V.

5. Matriks Standar Refleksi Terhadap Garis yang Melalui O(0, 0)

Misalkan l adalah garis pada bidang XOY yang melalui titik O dan membentuk sudut θ dengan sumbu x positif, di mana 0 ≤ θ < π. Misalkan T: R² → R² adalah operator linear yang memetakan setiap vektor ke pencerminannya terhadap garis l.

[T]_B = [T(e₁) | T(e₂)]

di mana B = {e₁, e₂} adalah basis standar untuk R². Namun, akan lebih mudah untuk menggunakan strategi yang berbeda. Alih-alih langsung mencari [T]_B, kita akan terlebih dahulu mencari matriks [T]_B' di mana

B' = {u₁', u₂'}

adalah basis yang terdiri dari vektor satuan u₁' di l dan vektor satuan u₂' tegak lurus terhadap l.

Setelah kita menemukan [T]_B', kita akan melakukan perubahan basis untuk menemukan [T]_B. Perhitungannya sebagai berikut:

T(u₁') = u₁' dan T(u₂') = −u₂'

Sehingga

Susun menjadi matriks

Ingat kembali proyeksi ortogonal, matriks transisi dari B' ke B adalah

[T]_B = P[T]_B'P⁻¹

Matriks standar untuk T adalah

6. Nilai Eigen dari Operator Linear

Vektor eigen dan nilai eigen dapat didefinisikan baik untuk operator linear maupun matriks. Suatu skalar λ disebut nilai eigen dari suatu operator linear T: V → V jika terdapat vektor taknol x di V sedemikian sehingga T(x) = λx. Vektor x disebut vektor eigen dari T yang bersesuaian dengan λ. Dengan kata lain, vektor eigen dari T yang bersesuaian dengan λ adalah vektor-vektor taknol dalam kernel dari T − λI. Kernel ini disebut ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan λ.

Jika V adalah ruang vektor berdimensi hingga, dan B adalah basis apa pun untuk V, maka:

1. Nilai eigen dari T sama dengan nilai eigen dari [T]_B.

2. Sebuah vektor x adalah vektor eigen dari T yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika matriks koordinat [x]_B adalah vektor eigen dari [T]_B yang bersesuaian dengan λ.

Contoh:

1. Temukan nilai eigen dan basis untuk ruang eigen dari operator linear T: P₂ → P₂ yang didefinisikan oleh:

T(a + bx + cx²) = −2c + (a + 2b + c)x + (a + 3c)x²

Matriks untuk T terhadap basis standar B = {1, x, x²} adalah

Nilai eigen dari T adalah λ = {1, 2}. Ruang eigen dari [T]_B yang bersesuaian dengan λ = 2 memiliki basis (u₁, u₂), di mana

dan ruang eigen dari [T]_B yang bersesuaian dengan λ = 1 memiliki basis (u₃), di mana

Matriks u₁, u₂, dan u₃ adalah matriks koordinat relatif terhadap B dari

p₁ = −1 + x²,    p₂ = x,    p₃ = −2 + x + x²

Dengan demikian, ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan λ = 2 memiliki basis

{p₁, p₂} = {−1 + x², x}

dan yang bersesuaian dengan λ = 1 memiliki basis

{p₃} = {−2 + x + x²}

2. Kita ingin mengubah dari basis standar B ke basis baru B' = {u₁, u₂, u₃} agar mendapatkan matriks diagonal untuk T. Jika kita misalkan P adalah matriks transisi dari basis yang belum diketahui B' ke basis standar B, maka matriks [T]_B dan [T]_B' akan memiliki hubungan:

[T]_B' = P⁻¹[T]_BP

Matriks P dari nomor sebelumnya adalah

Karena P merepresentasikan matriks transisi dari basis B' = {u₁', u₂', u₃'} ke basis standar B = {e₁, e₂, e₃}, maka kolom-kolom dari P adalah [u₁]_B, [u₂]_B, dan [u₃]_B sehingga: