Sistem Garis Lurus pada Paraboloid Hiperbolik

Jika kita tuliskan persamaan paraboloid hiperbolik dalam bentuk:

maka kedua sistem garis lurus

dan

terletak pada paraboloid tersebut.

Untuk setiap harga 𝜆, diperoleh satu garis lurus pada himpunan garis lurus (A), dan untuk setiap 𝜇, diperoleh satu garis lurus pada himpunan garis lurus (B). Dengan mengubah-ubah 𝜆 dan 𝜇 diperoleh garis-garis lurus yang membentuk paraboloid hiperbolik tersebut. Kedua himpunan (A) dan (B) di atas disebut sistem garis lurus pembentuk. Beberapa sifat:

a. Setiap titik pada paraboloid hiperbolik dilalui oleh satu garis lurus dari sistem (A) dan satu garis lurus dari (B).

b. Dua garis lurus dari sistem yang sama, tidak berpotongan.

c. Dua garis lurus dari sistem yang berbeda, akan berpotongan.

Contoh:

Tentukan persamaan garis pelukis paraboloida hiperbolik x² – y² = 2z yang menyinggung bola x² + y² + z² = 1.

Faktorkan x² – y² = 2z menjadi (x – y)(x + y) = 2z

Sistem A: x – y = 𝜆z, 2 = 𝜆(x + y)

Sistem B: x – y = 2𝜇, z = 𝜇(x + y)

Dari sistem A diperoleh:

Masukkan ke x² + y² + z² = 1

Agar menyinggung diharuskan diskriminannya 0

masukkan ke sistem A
x – y = (√2)z, 2 = (√2)(x + y) dan x – y = (–√2)z, 2 = (–√2)(x + y)

Jika cara yang sama diterapkan pada sistem B, akan diperoleh 𝜇 = ±√2, masukkan ke sistem B

x – y = 2(√2), z = (√2)(x + y) dan x – y = 2(–√2), z = (–√2)(x + y)