Tempat Kedudukan (GAR)

Langkah-langkah menyelesaikan tempat kedudukan

• Misalkan titik (x₀, y₀, z₀) yang memenuhi

• Tulis persyararatan atau kondisi yang diketahui

• Cari hubungan-hubungan antara x₀, y₀, dan z₀

• Jalankan titik (x₀, y₀, z₀)

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan tempat kedudukan titik yang berjarak 4 dari bidang XOY serta jumlah kuadrat jaraknya ke (1, 0, 0) dan (−1, 0, 0) adalah 36

• Misalkan titik (x₀, y₀, z₀) yang memenuhi

• Jarak dari bidang XOY adalah 4, sehingga z₀ = ±4 (i)

• Jumlah kuadrat jaraknya ke (1, 0, 0) dan (−1, 0, 0) adalah 36, sehingga

(x₀ − 1)² + y₀² + z₀² + (x₀ + 1)² + y₀² + z₀² = 36

2x₀² + 2 + 2y₀² + 2z₀² = 36

x₀² + y₀² + z₀² = 17 (ii)

• Tulis bersama (i) dan (ii)

x₀² + y₀² + z₀² = 17, z₀ = ±4, jalankan

x² + y² + z² = 17, z = ±4

2. Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap garis g: y = 0, z = 0 dan k: y = 3x, z = 0

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) yang memenuhi

• Jarak P(x₀, y₀, z₀) ke g: y = 0, z = 0

* Buat bidang melalui P tegak lurus g, yaitu x = x₀

* Potongkan bidang dengan g, memotong di titik (x₀, 0, 0)

* Kuadrat jarak P ke g adalah y₀² + z₀²

• Jarak P(x₀, y₀, z₀) ke k: y = 3x, z = 0

* Buat bidang melalui P tegak lurus k, yaitu 1(x − x₀) + 3(y − y₀) = 0

x + 3y − x₀ − 3y₀ = 0

* Potongkan bidang dengan k, persamaan garis k dalam parameter adalah x = t, y = 3t, z = 0

masukkan ke bidang menjadi t + 9t − x₀ − 3y₀ = 0, diperoleh t = (x₀ + 3y₀)/10, masukkan ke persamaan parameter, diperoleh titik potongnya (x, y, z) = [(x₀ + 3y₀)/10, (3x₀ + 9y₀)/10, 0]

* Kuadrat jarak P ke k adalah [x₀ − (x₀ + 3y₀)/10]² + [y₀ − (3x₀ + 9y₀)/10]² + z₀²

= x₀² + y₀² + z₀² − (x₀² + 3x₀y₀)/5 − (3x₀y₀ + 9y₀²)/5 + (x₀² + 9y₀² + 6x₀y₀)/100 + (9x₀² + 81y₀² + 54x₀y₀)/100

= x₀² + y₀² + z₀² − (x₀² + 6x₀y₀ + 9y₀²)/5 + (x₀² + 9y₀² + 6x₀y₀)/10

= x₀² + y₀² + z₀² − (x₀² + 6x₀y₀ + 9y₀²)/10

= (9/10)x₀² + (1/10)y₀² + z₀² − (3/5)x₀y₀

• Jarak P ke g sama dengan jarak P ke k, sehingga kuadrat jaraknya sama

y₀² + z₀² = (9/10)x₀² + (1/10)y₀² + z₀² − (3/5)x₀y₀

(9/10)x₀² − (9/10)y₀² − (3/5)x₀y₀ = 0, kalikan 10/3

3x₀² − 3y₀² − 2x₀y₀ = 0, jalankan

3x² − 3y² − 2xy = 0

3. Tentukan tempak kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap garis g: x + 2y = 1, 2x + z = 2 dan garis h: x + y + z = 1, y = 0

• Misalkan titik P(x₀, y₀, z₀) yang memenuhi

• Jarak P(x₀, y₀, z₀) ke garis g: x + 2y = 1, 2x + z = 2

Bilangan arah garis g adalah (2, −1, −4), persamaan garis g dalam parameter 

g:(x, y, z) = (1, 0, 0) + t(2, −1, −4) = (1 + 2t, −t, −4t)

* Buat bidang melalui P tegak lurus g, yaitu 2(x − x₀) − (y − y₀) − 4(z − z₀) = 0

* Potongkan garis g dengan bidang

2(1 + 2t − x₀) − (−t − y₀) − 4(−4t − z₀) = 0

21t − 2x₀ + y₀ + 4z₀ + 2 = 0

t = (2x₀ − y₀ − 4z₀ − 2)/21, masukkan t ke bentuk parameter

titik potongnya adalah [(4x₀ − 2y₀ − 8z₀ + 17)/21, (−2x₀ + y₀ + 4z₀ + 2)/21, (−8x₀ + 4y₀ + 16z₀ + 8)/21]