Distribusi Fungsi VR dengan Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X adalah variabel random pada ruang sampel Ω dengan ruang dari X adalah Ωx. Maka fungsi berharga riil Y = u(X) yang merupakan fungsi dari X dapat dicari distribusinya dengan beberapa cara yaitu:

1. Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Teknik ini umumnya digunakan untuk distribusi khusus, dimana masing-masing distribusi khusus memiliki fungsi pembangkit momennya. Teknik ini akan sulit jika digunakan untuk sebarang distribusi yang bukan distribusi khusus

2. Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif

Teknik ini bisa digunakan untuk sebarang distribusi.

3. Teknik Transformasi Variabel Random

Teknik ini bisa digunakan untuk transformasi injektif, sehingga memiliki invers. Banyak variabel asal harus sama dengan banyak variabel tujuan, apabila berbeda gunakan variabel bantu.

Pada artikel ini, Minfor akan membahas distribusi fungsi variabel random dengan Teknik Fungsi Pembangkit Momen.

1. Definisi

Fungsi pembangkit momen dari variabel random X dinotasikan dengan M_x(t) dan didefinisikan sebagai:

M_x(t) = E[e^tx]

2. Pengaruh Penjumlahan dan Perkalian Skalar

Misal X variabel random dan a skalar, berikut fungsi pembangkit momen dari variabel random X yang dijumlahkan atau dikalikan skalar a:

1. M_{x + a}(t) = E[e^{t(x + a)}] = E[e^ate^tx] = e^at.M_x(t)

2. M_ax(t) = E[e^at.x] = M_x(at)

3. Misal X₁, X₂, X₃, …, X_n adalah variabel random yang bebas stokastik dengan fungsi pembangkit momen masing-masing M_x1(t), M_x2(t), M_x3(t), ..., M_xn(t) dan Y = X₁ + X₂ + X₃ + … + X_n, kita dapat menentukan fungsi pembangkit momen untuk Y:

M_y(t) = M_x1(t).M_x2(t).M_x3(t)...M_xn(t)

3. Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X₁, X₂, ..., Xₙ adalah variabel random dengan fungsi densitas probabilitas bersama f(x₁, x₂, ..., xₙ) dan ruang bersamanya adalah Ωx₁, x₂, ..., xₙ. Misal Y = u(X₁, X₂, ..., Xₙ).

Untuk menentukan fungsi densitas probabilitas dari Y, cukup dicari fungsi pembangkit momen dari Y, yaitu:

M_y(t) = E[e^ty] = E[e^{u(X₁, X₂, X₃, ..., X_n)}]

Contoh Soal

1. Diberikan variabel random X ~ N(𝜇, 𝜎²), misal Z = (X − 𝜇)/𝜎, tentukan distribusi dari variabel random Z dan tentukan f(z).

Variabel random Z terdistribusi normal dengan 𝜇 = 0 dan 𝜎² = 1, sehingga FDP nya adalah:

2. Misalkan X₁, X₂, …, X₅₀ adalah sampel random dari VR 𝑋 ~ 𝑁(𝜃 + 1, 100) dan Y₁, Y₂, …, Y₄₀ adalah sampel random dari VR 𝑌 ~ 𝑁(6, 4𝜃). Jika 𝑍 = 2x̄ − ȳ maka tentukan distribusi dari VR Z.

Jadi, Z ~ N(2𝜃 + 43/20, 8 + 𝜃/10)

3. Misalkan X₁, X₂, …, X₂₀ merupakan sampel random X yang mempunyai fungsi densitas:

Jika Y = X₁ + X₂ + … + X₂₀ maka tentukan
a. Distribusi dari VR Y

Perhatikan f(x), VR X berdistribusi Poisson dengan parameter (2θ − 1)/4

Y berdistribusi Poisson dengan parameter 10θ − 5, ditulis Y ~ P(10θ − 5)

b. Jika θ = 0,7; hitunglah P[Y ≥ 3]

Parameter dari distribusi Y adalah 10.(0,7) − 5 = 2

Fungsi probabilitas VR Y adalah:

Hitung peluang

Jadi, P[Y ≥ 3] adalah 1 − 5e⁻² ≈ 0,32332.