Distribusi Fungsi VR dengan Fungsi Distribusi Kumulatif

Misalkan X adalah variabel random pada ruang sampel Ω dengan ruang dari X adalah Ωx. Maka fungsi berharga riil Y = u(X) yang merupakan fungsi dari X dapat dicari distribusinya dengan beberapa cara yaitu:

1. Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Teknik ini umumnya digunakan untuk distribusi khusus, dimana masing-masing distribusi khusus memiliki fungsi pembangkit momennya. Teknik ini akan sulit jika digunakan untuk sebarang distribusi yang bukan distribusi khusus

2. Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif

Teknik ini bisa digunakan untuk sebarang distribusi.

3. Teknik Transformasi Variabel Random

Teknik ini bisa digunakan untuk transformasi injektif, sehingga memiliki invers. Banyak variabel asal harus sama dengan banyak variabel tujuan, apabila berbeda gunakan variabel bantu.

Pada artikel ini, Minfor akan membahas distribusi fungsi variabel random dengan Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif.

Karena Y = u(X), maka Y merupakan fungsi komposisi yang didefinisikan pada Ω. Artinya untuk setiap ω di Ω, berlaku:

Y(ω) = u(X(ω)) = u(X(ω))

Dengan demikian Y juga merupakan variabel random pada Ω dengan ruang dari Y adalah Ωy = {y | y = Y(ω), ω ∈ Ω} = {y | y = u(X(ω)), ω ∈ Ω}.

Sehingga fungsi distribusi kumulatif dari Y adalah

F(y) = P(Y ≤ y) = P(u(X) ≤ y)

Fungsi densitas / probabilitas dapat di cari melalui F(y).

Contoh Soal:

1. Jika X adalah variabel random yang memiliki fungsi probabilitas sebagai berikut:

Jika VR 𝑌 = |2𝑋 − 1| maka tentukan FDP dari VR Y

Ω𝑥 = {−2, −1, 1, 2}

𝑋 = −2 → 𝑌 = |−4 − 1| = 5

𝑋 = −1 → 𝑌 = |−2 −1| = 3

𝑋 = 1 → 𝑌 = |2 − 1| = 1

𝑋 = 2 → 𝑌 = |4 − 1| = 3

Ω𝑦 = {1, 3, 5}

𝐺(𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃(|2𝑥 − 1| ≤ 𝑦) = 𝑃(−𝑦 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 𝑦)

Untuk 𝑦 < 1:

𝐺(𝑦) = 𝑃(𝑦 < 1) = 𝑃(−1 < 2𝑥 − 1 < 1) = 𝑃(0 < 2𝑥 < 2) = 𝑃(0 < 𝑥 < 1) = 0

Untuk 1 ≤ 𝑦 < 3:

Untuk 3 ≤ 𝑦 < 5:

Untuk 𝑦 ≥ 5:

Fungsi distribusi kumulatif dari Y adalah:

Tentukan fungsi probabilitas

Jadi, fungsi probabilias dari variabel random Y adalah:

2. Jika X adalah variabel random yang memiliki fungsi probabilitas sebagai berikut:

Jika VR 𝑌 = 𝑋² + 1, maka tentukan FDP dari VR Y

Ω𝑥 = {−1, 0, 1, 3}

𝑋 = −1 → 𝑌 = 1 + 1 = 2

𝑋 = 0 → 𝑌 = 0 + 1 = 1

𝑋 = 1 → 𝑌 = 1 + 1 = 2

𝑋 = 3 → 𝑌 = 9 + 1 = 10

Ωy = {1, 2, 10}

Untuk 𝑦 < 1:

𝐺(𝑦) = 𝑃(0 < 𝑥 < 0) = 0

Untuk 1 ≤ 𝑦 < 2:

Untuk 2 ≤ 𝑦 < 10:

Untuk 𝑦 ≥ 10:

Fungsi distribusi kumulatif dari Y adalah:

Tentukan fungsi probabilitas

Jadi, fungsi probabilias dari variabel random Y adalah:

3. Jika X adalah variabel random yang memiliki fungsi densitas sebagai berikut:

Jika VR ½X² − 1 maka:

a. Tentukan fungsi densitas dari VR Y

Ωx = {x ∈ R | −1 < x < 2}

X = −1 → Y = ½(−1)² − 1 = −½

X = 2 → Y = ½.2² − 1 = 1

Sumbu simetri U(X) adalah −b/2a = 0

X = 0 → Y = ½.0² − 1 = −1

Ωy = {y ∈ R | −1 < x < 1}

Untuk y < −1:

G(y) = P(0 < x < 0) = 0

Untuk −1 ≤ y < −½ ↔ −1 ≤ x < 1:

Untuk −½ ≤ y < 1 ↔ 1 ≤ x < 2:

Untuk y ≥ 1:

Fungsi distribusi kumulatif dari Y adalah:

Tentukan fungsi densitas

Untuk y < −1:

g(y) = (∂/∂y)(0) = 0

Untuk −1 ≤ y < −½:

Untuk −½ ≤ y < 1:

Untuk y ≥ 1:
g(y) = (∂/∂y)(1) = 0

Jadi, fungsi densitas dari variabel random Y adalah:

b. Hitunglah P[|5Y – 5| > 2]
P[|5Y – 5| > 2] = P[5Y – 5 < –2 ∨ 5Y – 5 > 2]

= P[5Y < 3 ∨ 5Y > 7]

= P[Y < 3/5 ∨ Y > 7/5]

= G(3/5) + 1 – G(7/5)

Jadi, P[|5Y – 5| > 2] adalah 0,74715.