Distribusi Normal (Teopro)

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), penemu distribusi normal

1. Definisi dan Formula

Suatu variabel random kontinu  X dikatakan berdistribusi normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎² jika fungsi densitasnya berbentuk:

X ~ N(𝜇, 𝜎²)

2. Mean, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen

A. Fungsi Pembangkit Momen

B. Mean dan Variansi

Sebelum menentukan mean dan variansi, kita tentukan terlebih dahulu turunan parsial pertama dan kedua dari fungsi pembangkit momen

Masukkan t = 0 ke turunan parsial fungsi pembangkit momen

Tentukan mean dan variansi

Mean = E[X] = 𝜇

Var[X] = E[X²] − (E[X])² = 𝜎² + 𝜇² − 𝜇² = 𝜎²

3. Sifat-Sifat Kurva Normal

A. Asimtotik terhadap sumbu mendatar (Sumbu X)

B. Simteris terhadap garis 𝑥 = 𝜇

C. Memiliki titik maksimum di

D. Memiliki dua titik belok yang berjarak 𝜎 dari sumbu simetri

E. Luas daerah diatas sumbu X dan dibawah kurva setara dengan satu satuan luas. Karena kurva Normal simetris, berbentuk genta / lonceng dan unimodal maka daerah di di kanan dan di kiri garis tegak lurus diatas mean masing-masing besarnya 0,5

F. Merupakan kurva unimodal, karena mean = median = mode

4. Dampak Perubahan Mean dan Variansi terhadap Kurva Normal

Perubahan mean pada distribusi normal akan menggeser kurva ke kiri dan ke kanan, sedangkan perubahan variansi akan mempengaruhi keruncingan kurva, semakin kecil variansi, kurva akan semakin runcing, semakin besar variansi, kurva akan semakin landai.

5. Distribusi Normal Baku

Misalkan  variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇 dan  variansi 𝜎². 

Jika

Maka variabel random Z berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1.

6. Tabel Distribusi Normal Standar

Berikut tabel distribusi normal standar versi full:

dan berikut versi half nya:

versi full berisi positif dan negatif, sedangkan versi half hanya berisi positif.

Peluang yang tertulis di tabel full adalah peluang bahwa bilangan baku kurang dari Z.

Adapun untuk tabel half, peluang sebenarnya adalah:

0,5 + peluang tertulis, untuk positif

0,5 − peluang tertulis, untuk negatif

Contoh soal:

Suatu ujian dengan 20000 peserta, nilai reratanya 51,24 dan deviasi baku 16.

1. Jika data terdistribusi normal, berapakah peserta dengan nilai 45 kebawah?

Untuk nilai 45, bilangan bakunya adalah:

Pada tabel full, peluangnya adalah 0,3483. Sehingga banyak peserta dengan nilai 45 kebawah adalah 0,3483 × 20000 = 6966. Jadi, ada 6966 peserta dengan nilai 45 kebawah.

2. Jika nilai minimal untuk lulus adalah 65, maka berapa persen yang lulus?

Untuk nilai 65, bilangan bakunya adalah:

Pada tabel full, peluangnya adalah 0,8051. Peluang mendapatkan nilai 65 keatas adalah 1 − 0,8051 = 0,1949. Jadi, peserta yang lulus adalah 19,49%.

3. Jika terdapat 7,93% peserta yang memperoleh nilai dengan predikat memuaskan, maka berapa nilai minimal (terendah) untuk memperoleh nilai predikat memuaskan?

Jika terdapat 7,93% dengan predikat memuaskan, peluang tidak mendapatkan predikat memuaskan adalah 100% − 7,93% = 92,07% = 0,9207.

Pada tabel full, peluang 0,9207 dengan bilangan baku 1,41. Nilai minimal untuk memperoleh predikat memuaskan adalah:

𝑋 = 𝜇 + 𝑍𝜎 = 51,24 + 1,41 × 16 = 73,8

Jadi, nilai minimal untuk memperoleh predikat memuaskan adalah 73,8.

4. Berapa banyak peserta dengan nilai diantara 41 dan 57?

Untuk nilai 41 bilangan bakunya adalah:

Pada tabel full, peluang mendapatkan nilai kurang dari 41 adalah 0,2611

Untuk nilai 57 bilangan bakunya adalah:

Pada tabel full, peluang mendapatkan nilai kurang dari 57 adalah 0,6406

P(41 < X < 57) = P(X < 57) − P(X < 41) = 0,6406 − 0,2611 = 0,3795

n(41 < X < 57) = 0,3795 × 20000 = 7590

Jadi, terdapat 7590 peserta dengan nilai diantara 41 dan 57.