Distribusi Poisson (Teopro)

Simeon Denis Poisson (1781 - 1840), penemu distribusi Poisson.

1. Definisi dan Formula

Jika pada distribusi Binomial, parameter n yang cukup besar (secara teoritis 𝑛 → ∞) maka akan diperoleh Distribusi Poisson dengan parameter 𝝀 = 𝒏𝒑.

Variabel random X dinyatakan sebagai Distribusi Poisson dengan parameter 𝜆 jika fungsi peluangnya memiliki bentuk:

x: banyak kejadian sukses, dengan x = 0, 1, 2, ..., n

n: banyak pengulangan bebas

p: peluang sukses pada kejadian tunggal

𝜆 = np

Distribusi Poisson mempunyai karakter seperti distribusi binomial untuk banyak pencobaan (n) yang besar dan peluang sukses (p) yang sangat kecil.

2. Mean, Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen

A. Fungsi Pembangkit Momen

B. Mean dan Variansi

Sebelum menentukan mean dan variansi, kita tentukan terlebih dahulu turunan parsial pertama dan kedua dari fungsi pembangkit momen

Masukkan t = 0 ke turunan parsial fungsi pembangkit momen

Tentukan mean dan variansi

Mean = E[X] = 𝜆

Var[X] = E[X²] − (E[X])² = 𝜆 + 𝜆² − (𝜆)² = 𝜆

3. Karakter Distribusi Binomial

Distribusi Binomial atau Bernoulli berkaitan dengan eksperimentasi yang menghasilkan hanya dua kejadian/kemungkinan, yaitu kejadian sukses atau kejadian tidak sukses/gagal. Distribusi peluang yang dihasilkan dari eksperimentasi tersebut dinyatakan sebagai Distribusi Binomial. Berikut sifat-sifat distribusi binomial:

➢ Eksperimen terdiri dari n percobaan

➢ Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian, yaitu sukses atau gagal

➢ Peluang sukses tetap sama dari satu percobaan ke percobaan lainnya

Karena hanya ada dua kejadian, yaitu sukses dan gagal, misal peluang suksesnya p, dan peluang gagalnya q, berlaku p + q = 1.

➢ Masing-masing percobaan bersifat saling bebas

contoh soal:

Pada suatu hari, Thanos ingin melenyapkan sebagian populasi di suatu wilayah. Jika populasi wilayah tersebut 1000 orang, dan peluang menjadi korban Thanos adalah 0,01 tentukan peluang bahwa 12 orang menjadi korban Thanos!

Perhatikan bahwa permasalahan tersebut merupakan permasalahan binomial, karena hanya terdapat dua kemungkinan yaitu terkorban atau tidak terkorban oleh Thanos. Akan tetapi, parameter n yaitu banyak kejadian ulangan (ukuran n) membesar yaitu 1000 orang sehingga distribusinya adalah Poisson.

Misal 𝑋 kejadian orang terkorban oleh Thanos (kejadian sukses) dengan distribusi Poisson, dengan 𝑛 = 1000 dan 𝑝 = 0,01 maka 𝜆 = 𝑛𝑝 = 1000(0,01) = 10. Akibatnya peluang akan ada 𝑥 = 12 orang dari 1000 orang terkorban oleh Thanos adalah:

Jadi, peluangnya adalah 0,09478