Distribusi VR Diskrit dengan Transformasi Variabel Random

Misalkan X adalah variabel random pada ruang sampel Ω dengan ruang dari X adalah Ωx. Maka fungsi berharga riil Y = u(X) yang merupakan fungsi dari X dapat dicari distribusinya dengan beberapa cara yaitu:

1. Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Teknik ini umumnya digunakan untuk distribusi khusus, dimana masing-masing distribusi khusus memiliki fungsi pembangkit momennya. Teknik ini akan sulit jika digunakan untuk sebarang distribusi yang bukan distribusi khusus

2. Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif

Teknik ini bisa digunakan untuk sebarang distribusi.

3. Teknik Transformasi Variabel Random

Teknik ini bisa digunakan untuk transformasi injektif, sehingga memiliki invers. Banyak variabel asal harus sama dengan banyak variabel tujuan, apabila berbeda gunakan variabel bantu.

Pada artikel ini, Minfor akan membahas distribusi fungsi variabel random diskrit dengan Teknik Transformasi Variabel Random.

1. Kasus untuk Satu Variabel Random

Misalkan:

X adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas f(x) dan ruang dari X adalah Ωx.

Y = u(X) merupakan transformasi injektif dari Ωx pada Ωy dengan invers X = w(Y).

Peristiwa Y = y di Ωy ekuivalen dengan peristiwa X = w(Y) di Ωx. Sehingga fungsi probabilitas dari Y adalah:

g(y) = P(Y = y) = P(X = w(Y)) = f(w(Y)) untuk y di Ωy

2. Kasus untuk Dua Variabel Random

Misalkan:

X dan Y adalah variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas bersama f(x, y) dan ruang bersama dari X dan Y adalah Ωxy.

V = u₁(X, Y) dan W = u₂(X, Y) membentuk transformasi satu-satu dari Ωxy pada Ωvw dengan invers X = z₁(V, W) dan Y = z₂(V, W).

Sehingga fungsi probabilitas bersama dari V dan W adalah:

g(v, w) = P(V = v, W = w) = P(X = z₁(V, W), Y = z₂(V, W)) = f(z₁(v, w), z₂(v, w))

untuk v dan w di Ωvw.

Distribusi marginal dan distribusi bersyarat dapat diperoleh melalui fungsi probabilitas bersama yang ada.

3. Kasus untuk n Variabel Random

Misalkan:

X₁, X₂, ..., Xₙ adalah variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas bersama f(x₁, x₂, ..., xₙ) dan ruang bersamanya adalah Ωx₁, x₂, ..., xₙ.

Y_i = u_i(X₁, X₂, ..., Xₙ) dengan i = 1, 2, 3, ..., n membentuk transformasi injektif dari Ωx₁, x₂, ..., xₙ pada Ωy₁, y₂, ..., yₙ dengan invers X_i = w_i(Y₁, Y₂, ..., Yₙ). Sehingga fungsi probabilitas bersama dari Y₁, Y₂, ..., Yₙ adalah: g(y₁, y₂, ..., yₙ) = f[w₁(y₁, y₂, ..., yₙ), ..., w_n(y₁, y₂, ..., yₙ)].

Distribusi marginal dan distribusi bersyarat dapat diperoleh melalui fungsi probabilitas bersama yang ada.

Secara Umum langkah-langkah menentukan fungsi probabilitas dari fungsi variabel random adalah:

1. Buatlah variabel random Y_i = u_i(X₁, X₂, ..., Xₙ) dengan i = 1, 2, 3, ..., n sehingga bersama Y_i membentuk transformasi injektif.

2. Cari fungsi probabilitas bersama dari Y₁, Y₂, ..., Yₙ

3. Fungsi probabilitas marginal Y₁ adalah

Contoh Soal:

Jika X adalah variabel random yang memiliki fungsi probabilitas sebagai berikut:

Tentukan fungsi probabilitas dari Y = ½X − ½.

Ωx = {x | x = −1, 1, 3, 5}

Y = ½X − ½

Ωy = {y | y = −1, 0, 1, 2}

Fungsi ini injektif, sehingga memiliki invers:

Y = ½X − ½ = ½(X − 1) ↔ 2Y = X − 1 ↔ X = 2Y + 1

g(y) = f(w(y)) = f(2y + 1)