Distribusi VR Kontinu dengan Transformasi Variabel Random

Misalkan X adalah variabel random pada ruang sampel Ω dengan ruang dari X adalah Ωx. Maka fungsi berharga riil Y = u(X) yang merupakan fungsi dari X dapat dicari distribusinya dengan beberapa cara yaitu:

1. Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Teknik ini umumnya digunakan untuk distribusi khusus, dimana masing-masing distribusi khusus memiliki fungsi pembangkit momennya. Teknik ini akan sulit jika digunakan untuk sebarang distribusi yang bukan distribusi khusus

2. Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif

Teknik ini bisa digunakan untuk sebarang distribusi.

3. Teknik Transformasi Variabel Random

Teknik ini bisa digunakan untuk transformasi injektif, sehingga memiliki invers. Banyak variabel asal harus sama dengan banyak variabel tujuan, apabila berbeda gunakan variabel bantu.

Pada artikel ini, Minfor akan membahas distribusi fungsi variabel random kontinu dengan Teknik Transformasi Variabel Random.

1. Kasus untuk Satu Variabel Random

Misalkan:

X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas f(x) dan ruang dari X adalah Ωx.

Y = u(X) merupakan transformasi injektif dari Ωx pada Ωy dengan invers X = w(Y).

Maka fungsi densitas dari Y adalah:

g(y) = f(w(Y)).|J| ; untuk y di Ωy

dengan

J = dx/dy = w'(Y)

dinamakan Jacobian transformasi.

Mengapa Jacobian dimutlakkan? Ketika fungsi sedang naik, Jacobian bernilai positif, sehingga tanda untuk hasil integral tetap, sedangkan ketika fungsi sedang turun, Jacobian bernilai negatif, sehingga mengubah tanda hasil integral. Oleh karena itu, Jacobian dimutlakkan agar bagaimanapun perubahan nilai fungsi, baik naik maupun turun, tidak mengubah tanda integral.

2. Kasus untuk Dua Variabel Random

Misalkan: 

X₁ dan X₂ adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas bersama f(x₁, x₂) dan ruang bersama dari X₁ dan X₂ adalah  Ω_x1x2.

Y₁ = u₁(X₁, X₂) dan Y₂ = u₂(X₁, X₂) membentuk transformasi injektif dari Ω_x1x2 pada Ω_y1y2 dengan invers X₁ = w₁(Y₁, Y₂)  dan X₂ = w₂(Y₁, Y₂)

dimana:

• Setiap turunan parsialnya kontinu

• Jacobian transformasi J tidak identik dengan nol, artinya

Jika A ⊆ Ω_x1x2 dipetakan oleh u₁ dan u₂ menjadi  B ⊆ Ω_y1y2, maka:

P[(Y₁, Y₂) di B] = P[(X₁, X₂) di A]

Akibatnya fungsi densitas bersama dari Y₁ dan Y₂ adalah:

g(y₁, y₂) = f(w₁(y₁, y₂), w₂(y₁, y₂)).|J|; dengan (y₁, y₂) ∈ Ω_y1y2.

Distribusi marginal dan distribusi bersyarat dapat diperoleh melalui fungsi probabilitas bersama yang ada.

3. Kasus untuk n Variabel Random

Misalkan:

X₁, X₂, ..., Xₙ adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas bersama f(x₁, x₂, ..., xₙ) dan ruang bersamanya adalah Ωx₁, x₂, ..., xₙ.

Y = u(X₁, X₂, ..., Xₙ) dengan i = 1, 2, 3, ..., n membentuk transformasi injektif dari Ωx₁, x₂, ..., xₙ pada Ωy₁, y₂, ..., yₙ dengan invers X = w(Y₁, Y₂, ..., Yₙ).

dimana:

• Setiap turunan parsialnya kontinu

• Jacobian transformasi J tidak identik dengan nol, artinya

Akibatnya fungsi densitas bersama dari Y₁, Y₂, ..., Yₙ adalah:

g(y₁, y₂, ..., yₙ) = f(w₁(y₁, y₂, ..., yₙ), w₂(y₁, y₂, ..., yₙ), ..., wₙ(y₁, y₂, ..., yₙ)).|J|;

dengan (y₁, y₂, ..., yₙ) ∈ Ωy₁, y₂, ..., yₙ.

Distribusi marginal dan distribusi bersyarat dapat diperoleh melalui fungsi probabilitas bersama yang ada.

Contoh Soal

1. Diketahui variabel random X dan Y dengan fungsi densitas probabilitas bersama:

Jika 𝑉 = 2(𝑋 − 𝑌) maka tentukan FDP dari V.

Misal W = X

Invers

𝑋 = 𝑊, 𝑌 = 𝑊 − 𝑉/2

Berikut Jacobian dari transformasi ini:

Tentukan g(w, v)

Tentukan Ωwv

Ω𝑤𝑣 = 1 < 𝑤 < 2, 0 < 𝑤 − 𝑣/2 < 1

Ω𝑤𝑣 = 1 < 𝑤 < 2, 0 < 2𝑤 − 𝑣 < 2

Tentukan FDP marginal untuk V.

Sebelumnya, perhatikan daerah integrasinya:

S₁ = {(v, w): 0 < v < 2, 1 < w < 1 + v/2}, S₂ = {(v, w): 2 < v < 4, v/2 < w < 2}

Untuk interval 0 < v < 2, daerah integrasinya adalah S₁, dan untuk interval 2 < v < 4, daerah integrasinya adalah S₂.

Untuk 0 < 𝑣 < 2:

Untuk 2 < 𝑣 < 4:

Jadi, FDP marginal untuk V adalah:

2. Diketahui variabel random X dan Y dengan fungsi densitas bersama:

Jika Z = X – 2Y dan W = X + Y

Tentukan fungsi densitas marginal untuk masing-masing VR Z dan W!

Invers

X = (2W + Z)/3, Y = (W – Z)/3

Tentukan Jacobian

Sehingga FDP bersama untuk W dan Z adalah:

Tentukan Ωwz

Ωwz = 0 < (2𝑤 + 𝑧)/3 < 1, 1 < (𝑤−𝑧)/3 < 2, kalikan 3

Ωwz = 0 < 2𝑤 + 𝑧 < 3, 3 < 𝑤 − 𝑧 < 6

a. FDP marginal untuk W

Perhatikan daerah integrasi

S₁ = {(w, z): 1 < w < 2, −2w < z < w − 3}

S₂ = {(w, z): 2 < w < 3, w − 6 < z < 3 − 2w}

(i) Untuk 1 < w < 2:

(ii) Untuk 2 < w < 3:

FDP marginal untuk W adalah:

b. FDP marginal untuk Z

Perhatikan daerah integrasi

S₁ = {(w, z): −z/2 < w < z + 6, −4 < z < −3}

S₂ = {(w, z): −z/2 < w < (3 − z)/2, −3 < z < −2}

S₃ = {(w, z): z + 3 < w < (3 − z)/2, −2 < z < −1}

(i) Untuk −4 < z < −3:

(ii) Untuk −3 < z < −2:

(ii) Untuk −2 < z < −1:

FDP marginal untuk Z adalah: