Ekspektasi, Kovariansi, dan Kebebasan Stokastik Dua Variabel Random

1. Ekspektasi Matematika Dua Variabel Random

Jika  X dan Y merupakan VR dengan FDP bersama f(x, y). Maka  nilai ekspektasi matematika dari u(x, y) didefinisikan sebagai berikut:

2. Kovariansi

Jika X dan Y merupakan VR dengan FDP bersama f(x, y). Maka nilai Kovariansi dari X dan Y didefinisikan sebagai berikut:

𝐾𝑜𝑣 [𝑋, 𝑌] = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋)).(𝑌 − 𝐸(𝑌))]

= 𝐸[𝑋𝑌 − 𝑋.𝐸[𝑌] − 𝐸[𝑋].𝑌 + 𝐸[𝑋].𝐸[𝑌]]

= 𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋].𝐸[𝑌] − 𝐸[𝑋].𝐸[𝑌] + 𝐸[𝑋].𝐸[𝑌]

= 𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋].𝐸[𝑌]

Jadi, kovariansi dari X dan Y adalah E[XY] − E[X].E[Y]

3. Kebebasan Stokastik

Variabel random X dan Y dikatakan independen (bebas Stokastik) jika dipenuhi:

P(X = x, Y = y) = P(X = x).P(Y = y), dapat juga dituliskan

f(x, y) = f(x).f(y)

4. Akibat Kebebasan Stokastik terhadap Mean dan Variansi

Misal X dan Y merupakan VR yang bebas stokastik, mean dari X dan Y adalah:

Jadi, jika X dan Y bebas stokastik, maka:

1. E[X, Y] = E[X].E[Y]

2. Kov[X, Y] = E[XY] − E[X].E[Y] = 0

Contoh soal:

Diketahui FDP bersyarat X diketahui Y = y sebagai berikut:

Adapun FDP marginal dari Y adalah:

a. Tentukan K dan L

Jadi, nilai K adalah 12/5 dan L adalah 5.

b. Tentukan Kov[X, Y]

(i) Ekspektasi X dan Y

(ii) Ekspektasi Y

(iii) Ekspektasi X

Sebelumnya, tentukan FDP marginal untuk X:

Setelah mendapatkan f(x), tentukan ekspektasi X

(iv) Tentukan kovariansi X dan Y

Kov[X, Y] = E[XY] − E[X].E[Y] = 1/2 − (4/7).(5/6) = 1/42

Jadi, kovariansi X dan Y adalah 1/42.