Ekspektasi, Mean, dan Variansi dari Variabel Random

1. Ekspektasi Matematika

Misalkan U(X) adalah fungsi dari variabel random X yang mempunyai fungsi densitas probabilitas f(x), maka ekspektasi matematika atau nilai harapan dari U(X) didefinisikan sebagai:

Misalkan E[U(X)] adalah nilai harapan dari variabel random X yang mempunyai FDP f(x), maka E[U(X)] memiliki sifat-sifat:

1. Ekspektasi konstan

E[c] = c

2. Ekspektasi perkalian skalar

E[c.U(X)] = c.E[U(X)]

3. Ekspektasi penjumlahan

E[U(X) + V(X)] = E[U(X)] + E[V(X)]

4. Ekspektasi pembandingan

Jika U(X) ≤ V(X) maka E[U(X)] ≤ E[V(X)]

Contoh:

Diketahui variabel random X, dengan FDP didefinisikan sebagai :

Tentukan E[(2X − 1)²]

Jadi, ekspektasi dari (2X − 1)² adalah 3.

2. Mean dan Variansi

A. Mean / Rerata

Diketahui variabel random X dengan FDP f(x). Mean dari VR X dinotasikan dengan 𝜇 atau E[X] didefinisikan sebagai:

B. Variansi

Diketahui variabel ransom X dengan FDP f(x). Maka variansi dari VR X dinotasikan dengan 𝜎² atau  Var[X] didefinisikan sebagai:

Coba amati sekilas, rumus ini terkesan sulit. Tenang saja Sixtyfourians, kali ini Minfor akan memberikan rumus yang lebih mudah untuk menentukan Var[X] sebagai berikut:

• Untuk X diskrit

• Untuk X kontinu

Jadi, baik X diskrit maupun kontinu, kita dapat menentukan Var[X] dengan:

Var[X] = E[X²] − (E[X])²

Diketahui variabel random X dengan FDP f(x), maka Var[X] mempunyai sifat-sifat :

1. Var[c] = 0

2. Var[X + c] = Var[X]

3. Var[cX] = c²Var[X]

Contoh:

Diketahui variabel random X yang mempunyai fungsi densitas probabilitas berikut:

Hitunglah mean dan variansi dari VR X.

Berikut perhitungan untuk E[X]

Berikut perhitungan untuk E[X²]

kalikan bentuk terakhir ini dengan 2 lalu dijumlahkan

bagi bentuk terakhir ini dengan 4, akan diperoleh suatu pola

Mean = E[X] = 2, Variansi = Var[X] = E[X²] − (E[X])² = 6 − 2² = 2.

Jadi, meannya adalah 2 dan variansinya adalah 2.