Eksponen dan Logaritma Bilangan Kompleks

1. Rumus Euler

Leonhard Euler merumuskan:

e^iθ = cos(θ) + i.sin(θ) = cis(θ)

dengan i = √(–1)

• kasus khusus dimana θ = π:

e^iπ = cos(π) + i.sin(π) = –1 + 0 = –1

e^iπ = –1, tarik logaritma dari masing-masing ruas

iπ = ln(–1)

• kasus khusus dimana θ = 2π:

e^2iπ = cos(2π) + i.sin(2π) = 1 + 0 = 1

e^2iπ = 1, tarik logaritma dari masing-masing ruas

2iπ = ln(1)

padahal dalam bilangan real, ln(1) = 0

ini berarti ln bersifat periodik, sehingga dapat dituliskan:

ln(1) = 2kiπ, ∀k ∈ Z

Pada bilangan kompleks, logaritma bukan merupakan fungsi, melainkan relasi, sehingga bisa memiliki banyak peta (bahkan tak hingga).

2. Logaritma dengan Numerus Negatif

Misal ^alog(x) dengan x negatif.

^alog(x) = ln(x)/ln(a)

= [ln(–x) + ln(–1) + ln(1)]/ln(a)

= [ln(–x) + iπ + 2k₁iπ]/[ln(a) + 2k₂iπ], dengan k₁, k₂ ∈ Z

= [ln(–x) + (2k₁ + 1)iπ]/[ln(a) + 2k₂iπ], dengan k₁, k₂ ∈ Z

contoh:

³log(–2) = ln(–2)/ln(3)

= [ln(2) + ln(–1)]/ln(3)

= [ln(2) + (2k₁ + 1)iπ]/[ln(3) + 2k₂iπ], dengan k₁, k₂ ∈ Z

3. Eksponen Kompleks

Misal a, b, c bilangan real. Misal kita memangkatkan c dengan bilangan kompleks (a + ib):

c^a+ib = exp(ln(c^a+ib))

= exp[(a + ib).ln(c)]

= exp[a.ln(c) + ib.ln(c)]

= c^a.exp[ib.ln(c)]

= c^a.[cos(b.ln(c)) + i.sin(b.ln(c))]

= c^a.cis[b.ln(c)]

contoh:

Tentukan 5³⁺⁴ⁱ 

5³⁺⁴ⁱ = exp[(3 + 4i).ln(5)]

= exp[3.ln(5) + 4i.ln(5)]

= 5³.exp[4i.ln(5)]

= 125.[cos(4.ln(5)) + i.sin(4.ln(5))]

= 125.cis[4.ln(5)]

4. Bilangan Negatif Dipangkatkan Bilangan Rasional

Bilangan negatif dipangkatkan dengan bilangan rasional, berikut kemungkinannya:

A. Pembilang ganjil dan penyebut ganjil

Misal a^p/q dengan a bilangan negatif, p bilangan ganjil dan q bilangan ganjil, hasil perpangkatannya adalah bilangan negatif.

B. Pembilang genap dan penyebut ganjil

Misal a^p/q dengan a bilangan negatif, p bilangan genap dan q bilangan ganjil, hasil perpangkatannya adalah bilangan positif.

C. Pembilang ganjil dan penyebut genap

Misal a^p/q dengan a bilangan negatif, p bilangan ganjil dan q bilangan genap, hasil perpangkatannya adalah bilangan kompleks.

Contoh:

(–16)^3/4 = exp[ln((–16)^3/4)]

= exp[¾.(ln(16) + ln(–1))]

= 16^3/4.exp(¾iπ)

= 8.[cos(¾π) + i.sin(¾π)]

= 8.[–½√2 + i½√2]

= –4√2 + 4i√2

D. Pembilang genap dan penyebut genap

Misal a^p/q dengan a bilangan negatif, p bilangan ganjil dan q bilangan genap, untuk menentukan hasil perpangkatannya sederhanakan terlebih dahulu, baru dapat ditentukan hasilnya.

5. Bilangan Negatif Dipangkatkan Bilangan Irasional

Bilangan negatif dipangkatkan dengan bilangan irasional menghasilkan bilangan kompleks.

Contoh:

(–4)^√3 = exp[ln((–4)^√3)]

= exp[(√3).(ln(4) + ln(–1))]

= 4^√3.exp(iπ√3)

= 4^√3.[cos(π√3) + i.sin(π√3)]

= 4^√3.cis(π√3)

6. Persamaan Eksponensial dengan Solusi Kompleks

Misal diberikan persamaan eksponensial

1^x = 2

berapapun nilai x, untuk setiap x bilangan real, selalu 1^x = 1, sehingga tidak ada bilangan real yang memenuhinya.

Akan tetapi, ternyata terdapat tak hingga bilangan kompleks yang memenuhinya.

1^x = 2, tarik logaritma masing-masing ruas

x.ln(1) = ln(2)

x = ln(2)/ln(1)

x = [ln(2) + 2k₁iπ]/[ln(1) + 2k₂iπ]

x = [ln(2) + 2k₁iπ]/[2k₂iπ], dengan k₁, k₂ ∈ Z dan k₂ ≠ 0

7. Persamaan Trigonometri dengan Solusi Kompleks

Misal diberikan persamaan trigonometri

sin(θ) = 2

berapapun nilai θ, untuk setiap θ bilangan real, nilai sin(θ) selalu dalam interval [–1, 1], sehingga tidak ada θ real yang memenuhi.

Akan tetapi ternyata terdapat tak hingga θ yang memenuhi di bilangan kompleks.

Ingat kembali bahwa sin²(θ) + cos²(θ) = 1

cos²(θ) = 1 – 2² = –3

cos(θ) = ±i√3

Ingat kembali rumus Euler:

e^iθ = cos(θ) + i.sin(θ)

e^iθ = ±i√3 + 2i

e^iθ = i(2 ± √3), tarik logaritma masing-masing ruas

iθ = ln(i) + ln(2 ± √3) + 2kiπ

iθ = iπ/2 + ln(2 ± √3) + 2kiπ

iθ = iπ[½ + 2k] + ln(2 ± √3), bagi masing-masing ruas dengan i

θ = π[2k + ½] – i.ln(2 ± √3), dengan k bilangan bulat

8. i Dipangkatkan dengan i

Diketahui i = √(–1), bagaimana jika i dipangkatkan dengan i?

Ingat kembali rumus Euler:

e^iθ = cos(θ) + i.sin(θ)

θ yang memenuhi adalah θ yang memenuhi cos(θ) = 0 dan sin(θ) = 1, yaitu θ = π/2

e^iπ/2 = i

Misal kita memangkatkan i dengan i

iⁱ = e^i.iπ/2 = e^–π/2 ≈ 0,20787957635

hasilnya merupakan bilangan real.