Eksponensial (Perpangkatan)

1. Eksponensial

Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka pangkat ke-n dari a (ditulis sebagai aⁿ) didefinisikan sebagai perkalian dari n faktor masing-masing a.

Secara matematis, dapat dituliskan:

aⁿ = a × a × a × ... × a

(ada sebanyak n faktor a)

a disebut sebagai bilangan pokok

n disebut sebagai eksponen atau pangkat

Contoh:

2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

2. Sifat-Sifat Eksponensial

a. Perkalian eksponen dengan bilangan pokok sama

a^p.a^q = a^p+q 

adalah dengan menjumlahkan pangkatnya

b. Perkalian eksponen dengan pangkat sama

a^p.b^p = (ab)^p 

adalah dengan mengalikan bilangan pokoknya

c. Pembagian eksponen dengan bilangan pokok sama

a^p ÷ a^q = a^p−q 

adalah dengan mengurangkan pangkatnya

d. Pembagian eksponen dengan pangkat sama

a^p ÷ b^p = (a/b)^p 

adalah dengan membagi bilangan pokoknya

e. Eksponensiasi

(a^p)^q = a^pq 

adalah dengan mengalikan pangkatnya

f. Pangkat pecahan

penyebut menjadi akar pangkat.
g. Pangkat negatif

a^-p = 1/a^p 

menjadi resiprokal.

h. Pangkat nol

a⁰ = 1

untuk a ≠ 0, berapapun nilai a, jika dipangkatkan dengan 0 hasilnya selalu 1.

i. Pangkat bertumpuk

a^pq = a^(pq) 

3. Bilangan Pokok Tertentu

A. Perpangkatan dari 10

10¹ = 10

10² = 100

100³ = 1000, dan seterusnya

10 dipangkatkan dengan n menghasilkan angka 1 diikuti oleh 0 sebanyak n

B. Perpangkatan dari 2

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

Perpangkatan dari 2 ini banyak dipakai dalam ilmu komputer, seperti ukuran storage atau penyimpanan, umumnya menggunakan perpangkatan dari 2.

Contoh: Flashdisk 1GB, 2GB, 4GB, 8GB, 16GB, 32GB, 64GB, 128GB, 256GB, 512GB, 1TB

dimana 1TB = 1024GB.

C. Perpangkatan dari 1

1ⁿ = 1, untuk setiap n bilangan real.

Adapun untuk n bilangan kompleks, bisa jadi 1ⁿ ≠ 1.

D. Perpangkatan dari 0

0ⁿ = 0, untuk setiap n positif

Untuk n negatif, 0ⁿ tidak terdefinisi, sedangkan untuk n = 0, 0ⁿ = 0⁰ merupakan bentuk tak tentu.

Limit terkait bentuk tak tentu 0⁰.

• Limit a menuju 0 untuk a⁰

sebagaimana kita tahu bahwa a⁰ = 1 untuk setiap a ≠ 0, sehingga untuk a mendekati 0 tetapi a ≠ 0, nilai a⁰ akan mendekati 1.
• Limit a menuju 0 dari kanan untuk a^a 

semakin kecil nilai a juga akan semakin kecil pangkatnya, semakin mendekati 0, sehingga nilai a^a semakin mendekati a⁰, yang semakin mendekati 1.
Adapun limit kirinya tidak terdefinisikan karena bilangan negatif tidak bisa dipangkatkan dengan sembarang bilangan.

• Limit n menuju 0 dari kanan untuk 0ⁿ

sebagaimana kita tahu bahwa 0ⁿ = 0 untuk setiap n > 0, sehingga untuk n mendekati 0 dari kanan tetapi n ≠ 0, nilai 0ⁿ akan mendekati 0.

E. Perpangkatan dari –1

(–1)ⁿ = 1 untuk n genap, dan (–1)ⁿ = –1 untuk n ganjil

F. Perpangkatan dari e

e ≈ 2,718281828459

eⁿ bisa juga ditulis exp(n)

4. Perpangkatan Bilangan Positif dan Bilangan Negatif

A. Perpangkatan bilangan positif

Jika a > 0 dan n ∈ R, maka aⁿ > 0

Bilangan positif dipangkatkan dengan bilangan real berapapun, hasilnya selalu positif.

Adapun untuk n bilangan kompleks, bisa jadi aⁿ < 0

B. Perpangkatan bilangan negatif

• Pangkatnya bilangan bulat

Jika a < 0 dan n = 2k + 1, maka aⁿ < 0 dan jika n = 2k, maka aⁿ > 0, untuk setiap k bilangan bulat.

Bilangan negatif dipangkatkan bilangan ganjil hasilnya negatif, dan jika dipangkatkan bilangan genap hasilnya positif.

• Pangkatnya bilangan rasional dengan penyebut ganjil

Bilangan negatif dipangkatkan dengan bilangan rasional yang penyebutnya ganjil, hasilnya menyesuaikan dengan pembilangnya.

Jika pembilangnya ganjil hasilnya negatif, dan jika pembilangnya genap hasilnya positif.

• Pangkatnya bilangan rasional dengan penyebut genap

Bilangan negatif dipangkatkan dengan bilangan rasional yang penyebutnya genap, perhatikan pembilangnya.

Bilangan negatif dipangkatkan dengan bilangan rasional yang pembilangnya ganjil dan penyebutnya genap menghasilkan bilangan kompleks.

Bilangan negatif dipangkatkan dengan bilangan rasional yang pembilangnya genap dan penyebutnya genap, sederhanakan pecahannya.

• Pangkatnya bilangan irasional

Bilangan negatif dipangkatkan dengan bilangan irasional menghasilkan bilangan kompleks.

5. Pangkat Besar

A. Bilangan pokoknya lebih besar dari 1

Misal aⁿ dengan a > 1, semakin besar n maka semakin besar aⁿ.

Semakin n menuju ∞, nilai aⁿ semakin menuju ∞.

B. Bilangan pokoknya adalah 1

Misal aⁿ dengan a = 1, sebesar apapun nilai n, nilai aⁿ tetaplah 1. Adapun bentuk 1^∞ termasuk bentuk tak tentu. Terdapat beberapa kemungkinan nilai limit menujunya.

• Limit n menuju ∞ untuk 1ⁿ

• Limit n menuju ∞, dan a mendekati 1 dari kanan untuk aⁿ

• Limit n menuju ∞, dan a mendekati 1 dari kiri untuk aⁿ

• Limit bilangan alam

nilai e ≈ 2,718281828459
• Limit bilangan alam yang diperumum

Jika

maka

C. Bilangan pokoknya pada interval –1 < a < 1

Misal aⁿ dengan –1 < a < 1, semakin besar n maka aⁿ semakin mendekati 0.

D. Bilangan pokoknya –1
(–1)ⁿ = 1 untuk n genap, dan (–1)ⁿ = –1 untuk n ganjil.

Sebesar apapun nilai n, akan selalu berlaku hal ini, sehingga kita tidak bisa melimitkannya menuju tak hingga, dikarenakan kita tidak bisa memastikan apakah ∞ itu ganjil atau genap.

E. Bilangan pokoknya kurang dari –1

Misal aⁿ dengan a < –1, semakin besar n maka nilai aⁿ semakin jauh dari 0, boleh juga dikatakan semakin besar |aⁿ|. Untuk n genap nilai aⁿ positif, sedangkan untuk n ganjil nilai aⁿ negatif. Dikarenakan kita tidak bisa memastikan apakah ∞ itu ganjil atau genap, kita tidak bisa melimitkan n menuju ∞.