Fungsi Distribusi Bersama

1. Ruang Bersama

Ruang bersama dari variabel random X₁, X₂, X₃, …, X_k adalah range dari X₁, X₂, X₃, …, X_k yaitu:

C = {(x₁, x₂, x₃, …, x_k) | x_i = X_i(ω); ω ∈ Ω; i =1, 2, 3, …, k}

2. Fungsi Densitas Probabilitas Bersama

Misalkan Ωx₁, x₂, …, x_k adalah ruang dari VR X₁, X₂, …, X_k. Maka fungsi dari Ωx₁, x₂, …, x_k ke R dinamakan fungsi densitas probabilitas (FDP) bersama dari VR X₁, X₂, …, X_k yang dinotasikan f(x₁, x₂, …, x_k) jika dipenuhi:

1. (∀x₁, x₂, …, x_k). f(x₁, x₂, …, x_k) ≥ 0

Nilai fungsi tak pernah negatif.

2. Peluang keseluruhannya 1

Contoh:

1. Misal C = {(x,y) | x = 1, 2, 3, …, dan y = 1, 2, 3, …} adalah ruang bersama dari X dan Y. Misalkan f(x,y) didefinisikan sebagai:

Tentukan nilai k!

Agar merupakan FDP, diharuskan k/6 = 1, sehingga k = 6.
Jadi, nilai k adalah 6.

2. Variabel random X, Y mempunyai fungsi densitas probabilitas bersama sebagai berikut:

Tentukan P(X < 1 − Y).

3. Fungsi Distribusi Kumulatif Bersama

Fungsi Distribusi Kumulatif Bersama dari k variabel random X₁, X₂, …, X_k yang dinotasikan dengan F(x₁, x₂, …, x_k) adalah fungsi dengan domain vektor riil berdimensi k dan kodomain interval [0, 1] yang memenuhi:

F(x₁, x₂, …, x_k) = P[X₁ ≤ x₁, X₂ ≤ x₂, …, X_k ≤ x_k]

Berikut rumus untuk fungsi distribusi kumulatif bersama:

Contoh:

1. Diberikan fungsi densitas probabilitas bersama f(x, y) sebagai berikut:

Tentukan F(x, y).

(i) Untuk 𝑥 < 0 ∨ 𝑦 < 0:

𝐹(𝑥,𝑦) = 0

(ii) 0 ≤ 𝑥 < 1 ∧ 0 ≤ 𝑦 < 1:

(iii) Untuk 𝑥 ≥ 1 ∧ 0 ≤ 𝑦 < 1:

F(x, y) = F(1, y) = 3y² − 2y² = y²

(iv) Untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 ∧ 𝑦 ≥ 1:

F(x, y) = F(x, 1) = 3x² − 2x³

(v) Untuk 𝑥, 𝑦 ≥ 1:

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐹(1, 1) = 1

Jadi, F(x, y) adalah:

2. Diberikan fungsi densitas probabilitas bersama f(x, y) sebagai berikut:

Tentukan fungsi distribusi kumulatif bersama F(x, y).

(i) Untuk 𝑥 < 0 ∨ 𝑦 < 0:

𝐹(𝑥,𝑦) = 0

(ii) 0 ≤ 𝑥 < 3 ∧ 0 ≤ 𝑦 < 4:

(iii) Untuk 𝑥 ≥ 3 ∧ 0 ≤ 𝑦 < 4:

F(x, y) = F(3, y) = y²/16

(iv) Untuk 0 ≤ 𝑥 < 3 ∧ 𝑦 ≥ 4:

F(x, y) = F(x, 4) = x³/27

(v) Untuk 𝑥, 𝑦 ≥ 1:

F(x, y) = F(3, 4) = 1

Jadi, F(x, y) adalah:

4. Fungsi Densitas Probabilitas Marginal

Jika  f(x, y) adalah fungsi densitas probabilitas   bersama dari X dan Y, maka fungsi densitas probabilitas marginal dari X dan Y dinotasikan dengan f(x) dan f(y), didefinisaikan sebagai:

A. Fungsi Densitas Probabilitas Marginal untuk X

B. Fungsi Densitas Probabilitas Marginal untuk Y

5. Fungsi Densitas Probabilitas Bersyarat

Jika f(x, y) adalah fungsi densitas probabilitas bersama dari X dan Y, sedangkan fungsi densitas probabilitas marginal dari X dan Y dinotasikan dengan f(x) dan f(y), maka :

A. Fungsi densitas probabilitas bersyarat X diketahui Y = y adalah:

B. Fungsi densitas probabilitas bersyarat Y diketahui X = x adalah:

6. Mean, Variansi, dan Probabilitas Bersyarat

A. Mean bersyarat dari X di ketahui Y = y adalah:

B. Variansi bersyarat dari X di ketahui Y = y adalah:

C. Probabilitas bersyarat dari a < X < b diketahui Y = y adalah:

Contoh:

Misalkan X dan Y adalah variabel random yang memiliki fungsi densitas probabilitas bersama sbb:

Tentukan:

a. Tentukan nilai k

Agar merupakan FDP, diharuskan k/8 = 1 sehingga k = 8, f(x, y) adalah:

b. FDP marginal Y

c. FDP bersyarat X diketahui Y = y

d. Mean bersyarat X diketahui Y = y

e. Variansi bersyarat X diketahui Y = y

f. P(0 < X < 0,5 | Y = 0,75)