Fungsi Eksponensial

1. Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial dengan bilangan pokok a didefinisikan sebagai:

f(x) = aˣ dengan a > 0 dan a ≠ 1

• a harus positif karena bilangan positif bisa dipangkatkan dengan bilangan real berapapun

• andaikan a = 1, selalu aˣ = 1 untuk setiap x ∈ R

• andaikan a = 0, selalu aˣ = 0 untuk setiap x > 0, dan tidak terdefinisi untuk x ≤ 0

• andaikan a negatif, aˣ menghasilkan bilangan kompleks untuk x bilangan rasional (dalam bentuk sederhana) berpenyebut genap, juga untuk x bilangan irasional.

Melihat pertimbangan ini, diharuskan a > 0 dan a ≠ 1 agar aˣ terdefisi untuk setiap x ∈ R.

Fungsi eksponensial bersifat:

• Kontinu

• Merupakan fungsi injektif (satu-satu)

• Domainnya adalah (–∞, ∞)

• Range nya adalah (0, ∞)

2. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Eksponensial

Grafik fungsi eksponensial f(x) = aˣ memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

a. Jika 0 < a < 1, maka kurva monoton turun. Artinya, grafiknya akan selalu menurun dari kiri ke kanan.

b. Jika a > 1, maka kurva monoton naik. Artinya, grafiknya akan selalu naik dari kiri ke kanan.

c. Memotong sumbu y = f(x) di titik (0, 1). Artinya, grafik akan selalu melalui titik (0,1).

d. Memiliki asimtot datar di y = 0 (Sumbu X). Artinya, grafik akan semakin mendekati sumbu x tetapi tidak pernah menyentuhnya.

3. Melukis Grafik Fungsi Eksponensial

Berikut cara melukis grafik fungsi eksponensial yang sudah digeser (shift left, shift right, shift up, shift down).

Misal f(x) = a^x+b + c, berikut langkah-langkah melukis grafiknya:

a. Perhatikan nilai a, untuk 0 < a < 1, grafik monoton turun, sedangkan untuk a > 1, grafik monoton naik

b. Titik potong sumbu y

Untuk menentukan titik potong sumbu y, diharuskan x = 0.

y = f(0) = a^b + c

Jadi, titik potong sumbu y adalah (0, a^b + c).

c. Asimtot mendatar

Asimtot mendatar terjadi ketika nilai x semakin mendekati tak hingga, baik positif maupun negatif. Untuk menentukannya dengan melimitkan x menuju tak hingga:

Untuk fungsi f(x) = a^x+b + c, kita dapat menentukan asimtot mendatarnya:

(i) Untuk 0 < a < 1:

(ii) Untuk a > 1:

Baik 0 < a < 1 maupun a > 1, asimtot mendatar untuk f(x) = a^x+b + c adalah y = c.

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2^x+1 – 3

• a = 2 > 1, sehingga grafik monoton naik

• Titik potong sumbu y

y = f(0) = 2⁰⁺¹ – 3 = –1

titik potong sumbu y adalah (0, –1)

• Asimtot mendatar

c = –3, sehingga asimtot mendatarnya adalah y = –3

• Titik bantu

x = –2 → y = f(–2) = 2^-2+1 – 3 = –5/2, titik (–2, –5/2)

x = –1 → y = f(–1) = 2^-1+1 – 3 = –2, titik (–1, –2)

x = 1 → y = f(1) = 2¹⁺¹ – 3 = 1, titik (1, 1)

• Grafik

4. Pertumbuhan

Pertumbuhan secara eksponensial dapat dituliskan dalam bentuk:

f(x) = y = kaˣ, dengan a = p + 1 dan nilai p > 0. Nilai p ini menunjukkan laju pertumbuhan.

Jika a = p + 1, dan p > 0, maka fungsi eksponen f(x) = y = kaˣ dapat dinyatakan dalam bentuk:

f(x) = y = k(p + 1)ˣ

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menemukan fenomena pertumbuhan atau pertambahan suatu besaran secara terus-menerus. Misalnya, pertumbuhan populasi, pertumbuhan investasi, atau pertumbuhan bakteri.

A. Pertumbuhan Diskrit

Jika pertumbuhan terjadi pada interval waktu tertentu (misalnya, setiap tahun), maka kita dapat menggunakan rumus berikut:

Pₜ = P₀(1 + i)ᵗ

Keterangan:

Pₜ: Nilai akhir setelah t periode

P₀: Nilai awal

i: Tingkat pertumbuhan per periode (dalam bentuk desimal)

t: Banyak periode

B. Pertumbuhan Kontinu

Jika pertumbuhan terjadi secara terus-menerus tanpa henti, maka kita dapat menggunakan rumus berikut:

Pₜ = P₀eⁱᵗ

Keterangan:

Pₜ, P₀, i, dan t sama seperti di atas

e: Bilangan Euler, sebuah konstanta matematika dengan nilai sekitar 2,718281828459

Contoh:

Adel menabung sebesar Rp 250.000 di suatu bank selama 5 tahun dengan bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Pada setiap akhir tahun bunga pada tahun yang bersangkutan ditambahkan dengan uang yang tersimpan sehingga seluruhnya menjadi modal awal tahun berikutnya. Berapa uang Adel pada akhir tahun ke-4?

Bunga yang diberikan oleh bank adalah bunga majemuk, sehingga:

Mt = M₀(1 + i)ᵗ

Diketahui:

M₀ = Rp 250.000 (modal awal)

i = 10% = 0,1 (tingkat bunga per tahun)

t = 4 tahun (jangka waktu)

Oleh karena itu, besarnya uang Adel pada akhir tahun ke-4 adalah:

M₄ = Rp 250.000 (1 + 0,1)⁴

M₄ = Rp 250.000 × (1,1)⁴

M₄ = Rp 250.000 × 1,4641

M₄ = Rp 366.025

Jadi, besarnya uang Adel pada akhir tahun ke-4 adalah Rp 366.025.

5. Peluruhan atau Penyusutan

Penyusutan secara eksponensial dapat dituliskan dalam bentuk fungsi:

f(x) = y = kaˣ, dengan a = 1 – p.

di mana:

p: Merupakan laju penyusutan dan nilainya berada di antara 0 dan 1 (0 < p < 1).

Jika a = 1 – p > 0, k > 0, dan 0 < p < 1, maka fungsi eksponen f(x) = y = kaˣ dapat dinyatakan dalam bentuk:

f(x) = y = k(1 – p)ˣ

Apabila penyusutan terjadi secara kontinu, maka:

Pₜ = P₀e⁻^λt 

Dengan:

Pₜ = sisa benda saat waktu t

P₀ = banyaknya benda mula-mula

λ = tetapan peluruhan

t = waktu

Contoh:

Pada pukul 05.00 massa suatu unsur radioaktif adalah 0,5 kg. Apabila laju peluruh unsur radioaktif tersebut adalah 2% setiap jam, hitunglah sisa unsur radioaktif pada pukul 09.00

k = 0,5

p = 2% = 0,02

x = 09.00 – 05.00 = 4 jam

y = k(1 – p)ˣ

= (0,5).(1 – 0,02)⁴

= (0,5).(0,98)⁴

= (0,5).(0,92236816)

= 0,46118408

Jadi, pada pukul 09.00 tersisa unsur radioaktif 0,46118408 kg.