Fungsi Kuadrat

1. Konsep Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu pemetaan dari daerah asal bilangan real (R) ke tepat satu daerah hasil bilangan real yang dinyatakan dengan rumus:

y = f(x) = ax² + bx + c

di mana a, b, c ∈ R (a, b, dan c adalah bilangan real) dan a ≠ 0. Jika x₁ dan x₂ merupakan absis titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X, maka rumus fungsi kuadrat dapat ditulis sebagai:

y = f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan real, didefinisikan fungsi f: A → B, dengan:

f(x) = ax² + bx + c

di mana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.

Keterangan:

x adalah variabel bebas atau peubah bebas

a adalah koefisien dari x²

b adalah koefisien dari x

c adalah konstanta persamaan

f(x) adalah nilai fungsi yang tergantung pada nilai variabel x

2. Melukis Grafik Fungsi Kuadrat

Misal diberikan y = f(x) = ax² + bx + c.

Keadaan grafik berdasarkan nilai-nilai a, b, c dan D dengan D = b² − 4ac:

(i) Untuk a > 0, grafik membuka ke atas

Untuk a < 0, grafik membuka ke bawah

(ii) Untuk a dan b bertanda sama, puncak grafik terletak di sebelah kiri sumbu y

Untuk a dan b bertanda beda, puncak grafik terletak di sebelah kanan sumbu y

Untuk b = 0, puncak grafik terletak di sumbu y

(iii) Untuk c > 0, grafik memotong sumbu y di atas sumbu x

Untuk c < 0, grafik memotong sumbu y di bawah sumbu x

Untuk c = 0, grafik memotong sumbu y di O

(iv) Untuk D > 0, grafik memotong sumbu x di 2 titik

Untuk D = 0, grafik menyinggung sumbu x di 1 titik

Untuk D < 0, grafik saling lepas dengan sumbu x

Fungsi kuadrat dengan D > 0 dan a > 0, merupakan definit positif, yang artinya f(x) selalu bernilai positif untuk semua nilai x.

Fungsi kuadrat dengan D > 0 dan a < 0, merupakan definit negatif, yang artinya f(x) selalu bernilai negatif untuk semua nilai x.

Berikut langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

A. Tentukan titik potong sumbu x

Grafik memotong sumbu x ketika y = 0, ini berarti sama dengan menyelesaikan persamaan kuadrat

ax² + bx + c = 0.

Kita bisa memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus abc untuk menyelesaikannya. Jika ada, maka penyelesaiannya merupakan titik potong sumbu x.

B. Tentukan titik potong sumbu y

Grafik memotong sumbu y ketika x = 0, sehingga titik potongnya

y = f(0) = c

Grafik memotong sumbu y di (0, c)

C. Tentukan sumbu simetri

D. Tentukan nilai ekstrim

Titik yang memenuhi sumbu simetri dan nilai ekstrim disebut titik puncak.

Contoh:

Plot grafik fungsi f(x) = x² + 5x + 6.

a = 1, b = 5, c = 6

Karena a = 1 > 0, grafik membuka ke atas.

D = b² − 4ac = 5² − 4.1.6 = 1 > 0, grafik memotong sumbu x di 2 titik.

• Tentukan titik potong sumbu x

y = f(x) = x² + 5x + 6 = 0

(x + 2)(x + 3) = 0

x = −2 ∨ x = −3

Titik potong sumbu x adalah (−2, 0) dan (−3, 0)

• Tentukan titik potong sumbu y

y = f(x) = f(0) = 6

Titik potong sumbu y adalah (0, 6)

• Tentukan sumbu simetri

x = −b/2a = −5/2

• Tentukan nilai ekstrim, masukkan sumbu simetri ke fungsi

y = f(−5/2) = (−5/2)² + 5(−5/2) + 6 = −1/4

Puncaknya adalah (−5/2, −1/4)

Berikut grafiknya:

3. Posisi Titik dan Garis dengan Fungsi Kuadrat

A. Posisi titik dengan fungsi kuadrat

Misal suatu titik P(x₁, y₁) dan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, hubungan titik P dengan f(x):

• Titik P terletak pada f(x) jika dipenuhi y₁ = ax₁² + bx₁ + c.

• Titik P tidak terletak pada f(x) jika tidak dipenuhi y₁ = ax₁² + bx₁ + c.

B. Posisi garis dengan fungsi kuadrat dan posisi dua fungsi kuadrat

Diketahui y = f(x) dan y = g(x). Jika dicari titik potong kedua grafik tersebut diperoleh f(x) = g(x) yang merupakan bentuk persamaan kuadrat.

Misal f(x) = ax² + bx + c dan g(x) = mx + n, jika disama dengankan, akan diperoleh persamaan

ax² + (b − m)x + c − n = 0, diskriminannya D = (b − m)² − 4a(c − n)

Misal f(x) = ax² + bx + c dan g(x) = px² + qx + r, jika disama dengankan, akan diperoleh persamaan

(a − p)x² + (b − q)x + c − r = 0, diskriminannya D = (b − q)² − 4(a − p)(c − r)

 Posisi kedua kurva tergantung diskriminannya, yaitu:

• D > 0, kedua kurva berpotongan di 2 titik

• D = 0, kedua kurva bersinggungan di 1 titik

• D < 0, kedua kurva saling lepas

4. Kondisi Bilangan yang Terletak Diantara Kedua Akar Fungsi Kuadrat

f(x) = ax² + bx + c dan a.f(p) < 0 jika dan hanya jika x₁ < p < x₂

Bukti:

(i) Jika f(x) = ax² + bx + c dan a.f(p) < 0 maka x₁ < p < x₂

Diketahui f(x) = ax² + bx + c dan a.f(p) < 0

Karena f(x) = ax² + bx + c maka f(x) = a(x² + (b/a)x + c/a) ⇔ f(x) = a(x + b/2a)² − b²/4a + c

maka a.f(p) < 0 ⇔ a(x + b/2a)² − (b² − 4ac)/4 < 0

⇔ a²(x + b/2a)² − D/4 < 0

⇔ a²(x + b/2a)² < D/4

Hal tersebut akan tercapai jika D/4 > a²(x + b/2a)² ⇒ D > 0

Karena D > 0 maka f(x) memotong sumbu x di 2 tempat misal x₁ dan x₂. Sehingga fungsi f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Jadi, a.f(p) < 0 ⇔ a²(p − x₁)(p − x₂) < 0, karena koefisien dari p adalah a² > 0 maka grafik f(p) memiliki titik balik minimum (grafik membuka ke atas). Sehingga x₁ < p < x₂.

(ii) Jika  f(x) = ax² + bx + c dan x₁ < p < x₂ maka a.f(p) < 0

Karena D > 0, maka grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di 2 tempat misal x₁ dan x₂. Sehingga fungsi f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Sehingga f(p) = a(p − x₁)(p − x₂) dan a · f(p) = a²(p − x₁)(p − x₂)

Karena diketahui x₁ < p < x₂, maka (p − x₁) > 0 dan p − x₂ < 0

Sehingga a · f(p) = a²(p − x₁)(p − x₂) < 0 ∎

5. Hasil Kali Dua Nilai Fungsi dengan Hasil Negatif

Hasil kali f(p).f(q) < 0 jika dan hanya jika grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c memotong sumbu X di dua titik yang berlainan dan salah satu absis titik potong terletak di antara p dan q.

Bukti:

(i) Jika f(p).f(q) < 0 maka grafik fungsi f(x) memotong sumbu X di dua titik yang berlainan dan salah satu absis titik potong terletak di antara p dan q.

Diketahui f(p) · f(q) < 0 dan f(x) = ax² + bx + c

Andaikan D ≤ 0, maka D = 0 atau D < 0.

• Jika D < 0 dan a > 0, maka fungsi definit positif artinya grafik tidak pernah memotong sumbu X dan f(x) selalu bernilai positif atau grafik membuka ke atas.

• Jika D < 0 dan a < 0, maka fungsi definit negatif artinya grafik tidak pernah memotong sumbu X dan f(x) selalu bernilai negatif atau grafik membuka ke bawah.

• Jika D = 0 dan a > 0, maka grafik menyinggung sumbu X dan grafik menghadap ke atas.

• Jika D = 0 dan a < 0, maka grafik menyinggung sumbu X dan grafik menghadap ke bawah.

Jadi, andaikan D ≤ 0, maka untuk setiap nilai x, f(x) ≥ 0 atau f(x) ≤ 0.

Jadi f(p) · f(q) ≥ 0. Hal ini bertentangan dengan f(p) · f(q) < 0.

Jadi, yang benar D > 0.

Karena D > 0 maka f(x) memotong sumbu X di 2 tempat misal x₁ dan x₂.

Sehingga fungsi f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Jadi f(p) = a(p − x₁)(p − x₂) dan f(q) = a(q − x₁)(q − x₂)

Dari persamaan f(p) · f(q) < 0, kita dapat memperoleh:

a²(p − x₁)(p − x₂)(q − x₁) (q − x₂) < 0

Karena a² selalu positif, maka:

(p − x₁)(p − x₂)(q − x₁) (q − x₂) < 0

Kemungkinan Kasus:

Ada dua kemungkinan kasus untuk memenuhi pertidaksamaan di atas:

(p − x₁)(p − x₂) > 0 dan (q − x₁)(q − x₂) < 0

Kasus 1.1: p < x₁ atau p > x₂

Kasus 1.2: x₁ < q < x₂ Karena p < q, maka solusi yang masuk akal adalah x₁ < p < x₂.

(p − x₁)(p − x₂) < 0 dan (q − x₁)(q − x₂) > 0

Kasus 2.1: x₁ < p < x₂

Kasus 2.2: q < x₁ atau q > x₂ Karena p < q, maka solusi yang masuk akal adalah x₁ < p < x₂.

Kesimpulan:

Dari kedua kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam kedua kemungkinan, selalu ada satu akar persamaan kuadrat (x₁) yang terletak di antara p dan q (x₁ < p < x₂).

Dengan kata lain:

Jika hasil kali nilai fungsi di titik p dan q bernilai negatif, maka salah satu titik potong grafik fungsi dengan sumbu x pasti terletak di antara titik p dan q.

(ii) Jika grafik fungsi f(x) memotong sumbu X di dua titik yang berlainan dan salah satu absis titik potong terletak di antara p dan q maka f(p).f(q) < 0.

Diketahui f(x) = ax² + bx + c memotong sumbu X di dua titik yang berlainan → D > 0 dan salah satu absis titik potong terletak di antara p dan q → p < x₁ < q atau x₁ < p < q

Karena D > 0, maka grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di 2 tempat misal x₁ dan x₂. Sehingga fungsi f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

Berdasarkan hal tersebut maka f(p) = a(p − x₁)(p − x₂) dan f(q) = a(q − x₁)(q − x₂).

Karena salah satu absis titik potong terletak di antara p dan q, maka pasti:

Jika p < x₁ < q dan p > x₂ maka f(p) · f(q) = a²(p − x₁)(p − x₂)(q − x₁)(q − x₂) < 0

Jika p < x₁ < q dan p < x₂ maka f(p) · f(q) = a²(p − x₁)(p − x₂)(q − x₁)(q − x₂) < 0

Jadi, terbukti f(p) · f(q) < 0 ∎

6. Dua Nilai Fungsi yang Masing-Masing Bernilai Positif

f(p) dan f(q) keduanya positif jika dan hanya jika x₁ dan x₂, yaitu akar-akar dari persamaan fungsi f(x) = ax² + bx + c, keduanya terletak di antara p dan q atau sama sekali keduanya tidak terletak di antara p dan q (catatan p < q dan x₁ < x₂).

Bukti:

Diketahui f(p) > 0, f(q) > 0, dan f(x) memiliki dua akar berlainan x₁ dan x₂.

Karena D > 0 maka f(x) memotong sumbu x di 2 tempat misal x₁ dan x₂.

Sehingga fungsi f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

f(p) > 0 → f(p) = a(p − x₁)(p − x₂) > 0

f(q) > 0 → f(q) = a(q − x₁)(q − x₂) > 0

Untuk a > 0, grafik membuka ke atas maka (p − x₁)(p − x₂) > 0 dan (q − x₁)(q − x₂) > 0, jika digabung maka:

x₁ < p < x₂ < q atau p > x₂ > x₁ > q

Untuk a < 0, grafik membuka ke bawah maka (p − x₁)(p − x₂) < 0 dan (q − x₁)(q − x₂) < 0, jika digabung maka:

x₁ < p < q < x₂ atau x₂ < p < q < x₁

Jadi terbukti bahwa x₁ dan x₂ keduanya terletak di antara p dan q atau x₁ dan x₂ keduanya tidak terletak di antara p dan q. ∎

7. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat Diketahui Puncaknya dan Melalui Suatu Titik

Misal suatu fungsi kuadrat puncaknya P(x_p, y_p) dan melalui suatu titik Q(x₁, y₁), persamaan fungsinya dapat ditentukan dengan:

y − y_p = a(x − x_p)²
Nilai a dapat dicari dengan memasukkan titik Q ke persamaan ini

y₁ − y_p = a(x₁ − x_p)² ⇔ a = (y₁ − y_p)/(x₁ − x_p)²

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang puncaknya P(2, 1) dan melalui Q(1, 3)

3 − 1 = a(1 − 2)² ⇔ a = 2

y − 1 = 2(x − 2)²

y = 2x² − 8x + 8 + 1

y = 2x² − 8x + 9

f(x) = 2x² − 8x + 9

8. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat Diketahui Memotong Sumbu X di Dua Titik

Misal suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik (x₁, 0) dan (x₂, 0) dan melalui suatu titik, persamaan fungsinya dapat ditentukan dengan:

y = a(x − x₁)(x − x₂)

Nilai a dapat dicari dengan memasukkan titik ke persamaan.

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di (−1, 0) dan (2, 0) dan melalui (3, 4).

y = a(x + 1)(x − 2), masukkan titik (3, 4) kesini

4 = a(3 + 1)(3 − 2) ⇔ 4a = 4 ⇔ a = 1

y = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2

f(x) = x² − x − 2

9. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat Diketahui Melalui Tiga Titik

Misal suatu fungsi kuadrat melalui tiga titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan (x₃, y₃). Persamaan fungsinya dapat diperoleh dengan memasukkan ketiga titik ke y = ax² + bx + c, akan terbentuk SPL tiga variabel, sehingga dapat diperoleh nilai a, b, dan c.

ax₁² + bx₁ + c = y₁ (i)

ax₂² + bx₂ + c = y₂ (ii)

ax₃² + bx₃ + c = y₃ (iii)

Selesaikan SPL ini dan akan diperoleh nilai a, b, dan c.

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat melalui (2, −4), (3, −6), dan (6, 0).

4a + 2b + c = −4 (i)

9a + 3b + c = −6 (ii)

36a + 6b + c = 0 (iii)

(ii) − (i) → 5a + b = −2 (iv)

(iii) − (ii) → 27a + 3b = 6 (v)

(v) − 3(iv) → 12a = 12 ⇔ a = 1, masukkan ke (iv)

5.1 + b = −2 ⇔ b = −7, masukkan ke (i)

4.1 + 2(−7) + c = −4 ⇔ c = 6

Jadi, a = 1, b = −7, dan c = 6, sehingga fungsinya adalah f(x) = x² − 7x + 6.