Fungsi Logaritma

1. Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a didefinisikan sebagai:

f(x) = ^alog(x) dengan a > 0, a ≠ 1, dan x > 0

fungsi logaritma ini adalah invers dari fungsi eksponensial.

Ingat kembali bahwa dalam fungsi eksponensial, diharuskan a > 0 dan a ≠ 1, hal ini juga berlaku untuk fungsi logaritma.

• nilai x harus positif agar ^alog(x) bilangan real

• andaikan x = 0, nilai ^alog(x) tidak terdefinisi

• andaikan x negatif, nilai ^alog(x) bilangan kompleks

Fungsi logaritma bersifat:

• Kontinu

• Merupakan fungsi injektif (satu-satu)

• Domainnya adalah (0, ∞)

• Range nya adalah (–∞, ∞)

2. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Logaritma

Grafik fungsi logaritma f(x) = ^alog(x) memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

a. Jika 0 < a < 1, maka kurva monoton turun. Artinya, grafiknya akan selalu menurun dari kiri ke kanan.

b. Jika a > 1, maka kurva monoton naik. Artinya, grafiknya akan selalu naik dari kiri ke kanan.

c. Memotong sumbu x di titik (1, 0). Artinya, grafik akan selalu melalui titik (1, 0).

d. Memiliki asimtot tegak di x = 0 (Sumbu Y). Artinya, grafik akan semakin mendekati sumbu y tetapi tidak pernah menyentuhnya.

3. Komparasi Fungsi Eksponensial vs Fungsi Logaritma

Perbandingan	Fungsi Eksponensial	Fungsi Logaritma
Daerah Asal	Bilangan real	Bilangan real positif
Range	Bilangan real positif	Bilangan real
Titik Potong dengan Sumbu x	Tidak ada	Titik (1, 0)
Titik Potong dengan Sumbu y	Titik (0, 1)	Tidak ada
Asimtot	Sumbu x (mendatar)	Sumbu y (tegak)

4. Melukis Grafik Fungsi Logaritma

Berikut ini cara melukis grafik fungsi logaritma yang sudah digeser.

Misal f(x) = ^alog(x + b) + c, berikut langkah-langkah melukis grafiknya:

a. Perhatikan nilai a, untuk 0 < a < 1, grafik monoton turun, sedangkan untuk a > 1, grafik monoton naik

b. Titik potong sumbu x

Untuk menentukan titik potong sumbu x, diharuskan y = 0

y = f(x) = ^alog(x + b) + c = 0

^alog(x + b) = –c, a dipangkatkan masing-masing ruas

x + b = a^–c 

x = a^–c – b

titik potong sumbu x adalah (a^–c – b, 0)

c. Titik potong sumbu y

Untuk menentukan titik potong sumbu x, diharuskan x = 0

y = f(0) = ^alog(b) + c

titik potong sumbu y adalah (0, ^alog(b) + c)

d. Asimtot tegak

Asimtot tegak adalah nilai x = p sehingga semakin x mendekati p, nilai f(x) akan semakin mendekati ∞ atau –∞.

Untuk f(x) = ^alog(x + b) + c, nilai fungsi akan mendekati ±∞ ketika x + b = 0

asimtot tegaknya adalah x = –b

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi f(x) = ²log(x + 1) + 3.

• a = 2 > 1, sehingga grafik monoton naik

• Titik potong sumbu x

f(x) = ²log(x + 1) + 3, a = 2, b = 1, c = 3

titik potong sumbu x = a^–c – b = 2^–3 – 1 = –⅞

titik potongnya adalah (–⅞, 0)

• Titik potong sumbu y

titik potong sumbu y = ^alog(b) + c = ²log(1) + 3 = 3

titik potongnya adalah (0, 3)

• Asimtot tegak

asimtot tegak adalah x = –b = –1

• Titik bantu

x = 1 → y = f(1) = ²log(1 + 1) + 3 = 4, titik (1, 4)

x = 3 → y = f(3) = ²log(3 + 1) + 3 = 5, titik (3, 5)

• Grafik

Berikut video tentang logaritma: