Fungsi Pembangkit Momen, Teorema Bienaime, Ketidaksamaan Chebyshev

1. Fungsi Pembangkit Momen

A. Definisi

Misalkan X adalah variabel random  pada ruang probabilitas (Ω, A, P), maka fungsi pembangkit momen (FPM) dari X ditulis dengan M_x(t), didefinisikan sebagai:

B. Turunan Parsial

Apabila M_x(t) diturunkan secara parsial terhadap t, turunan parsial ke-n adalah E[Xⁿe^tx], misal kita masukkan t = 0, akan menjadi E[Xⁿe^0x] = E[Xⁿ].

Secara khusus, kita memerlukan M_x'(0) = E[X] dan M_x''(0) = E[X²].

Contoh:

Diketahui variabel random X  dengan fdp sebagai berikut : 

Tentukan  mean dan variansi dari VR X !

Mula-mula tentukan fungsi pembangkit momen:

Turunkan secara parsial terhadap t

E[X] = M_x'(0) = 2/(2 − 0)² = 2/4 = 1/2

E[X²] = M_x''(0) = 4/(2 − 0)³ = 4/8 = 1/2

Mean = E[X] = 1/2

Variansi = E[X²] − (E[X])² = 1/2 − (1/2)² = 1/4

Jadi, meannya adalah 1/2 dan variansinya adalah 1/2.

2. Teorema Bienaime

Misalkan U(X) suatu fungsi non negatif dari variabel random X, maka untuk setiap bilangan riil c > 0 berlaku:

Ingat kembali bahwa:

Misal 𝐴 = {𝑥 | 𝑈(𝑋) ≥ 𝑐}, komplemennya adalah A^C = {𝑥 | 𝑈(𝑋) < 𝑐}

Jelas bahwa kedua ruas tak negatif, sehingga berlaku pertidaksamaan:

karena integralnya di daerah A, kita dapat menyatakan:

bagi masing-masing ruas dengan c

3. Ketidaksamaan Chebyshev

Misalkan VR X mempunyai mean 𝜇 dan variansi 𝜎² maka untuk setiap bilangan riil k > 0 berlaku:

juga:

Ketidaksamaan Chebyshev ini merupakan kasus khusus dari teorema Bienaime, dimana:

U(X) = (𝑥 − 𝜇)²,    c = k²𝜎²

Masukkan ke teorema Bienaime

Contoh:

Diketahui variabel random X dengan FDP sebagai berikut:

a. Tentukan nilai c

Agar merupakan FDP, diharuskan integral totalnya 1

−𝑐/2 = 1 ↔ c = −2

Jadi, c = −2, sehingga f(x) adalah:

b. Tentukan batas atas dari 𝑃[𝑋 ≤ −1 ∨ 𝑋 ≥ 2]

Untuk dapat menentukan batas atas dari 𝑃[𝑋 ≤ −1 ∨ 𝑋 ≥ 2], perlu dicari terlebih dahulu 𝜇 dan 𝜎².

agar konvergen, diharuskan (2𝜃𝑡 − 𝑡 + 2)/(2𝜃 − 1) < 0

gunakan fungsi pembangkit momen untuk menentukan 𝜇 dan 𝜎²

sehingga 𝜇 dan 𝜎² adalah:

Masukkan ke 𝑃[𝑋 ≤ −1 ∨ 𝑋 ≥ 2] = 𝑃[|X − 𝜇| ≥ k𝜎]

Menurut ketidaksamaan Chebyshev, 𝑃[𝑋 ≤ −1 ∨ 𝑋 ≥ 2] ≤ 1/3² = 1/9

Jadi, batas atas untuk 𝑃[𝑋 ≤ −1 ∨ 𝑋 ≥ 2] adalah 1/9.