Identitas Fungsi Siklometri

1. Pengelompokan Fungsi Siklometri menurut Range

Ingat kembali tabel domain dan range fungsi siklometri:

Fungsi	Domain	Range
x = sin⁻¹(y)	[–1, 1]	[–π/2, π/2]
x = cos⁻¹(y)	[–1, 1]	[0, π]
x = tan⁻¹(y)	(–∞, ∞)	(–π/2, π/2)
x = csc⁻¹(y)	(–∞, –1] ∪ [1, ∞)	[–π/2, 0) ∪ (0, π/2]
x = sec⁻¹(y)	(–∞, –1] ∪ [1, ∞)	[0, π/2) ∪ (π/2, π]
x = cot⁻¹(y)	(–∞, ∞)	(0, π)

Untuk fungsi sin⁻¹, csc⁻¹, dan tan⁻¹, range nya adalah kuadran I dan IV, sehingga kita bisa menentukan hubungan antara ketiganya.

Untuk fungsi cos⁻¹, sec⁻¹, dan cot⁻¹, range nya adalah kuadran I dan II, sehingga kita bisa menentukan hubungan antara ketiganya.

Adapun fungsi-fungsi yang berbeda range, kita perlu berhati-hati dalam menentukan hubungannya.

2. Hubungan antara Invers Sinus, Kosekan, dan Tangen

Fungsi-fungsi sin⁻¹, csc⁻¹, dan tan⁻¹, range nya adalah kuadran I dan IV.

Untuk p negatif, sin⁻¹(p), csc⁻¹(p), dan tan⁻¹(p) di kuadran IV, sedangkan untuk p positif, sin⁻¹(p), csc⁻¹(p), dan tan⁻¹(p) di kuadran I.

A. Menentukan Kosekan dan Tangen jika Diketahui Sinus

Misal diberikan sin(θ) = p, kita dapat menentukan csc(θ) dan tan(θ).

sehingga diperoleh identitas:

B. Menentukan Sinus dan Kosekan jika Diketahui Tangen

Misal diberikan tan(θ) = p, kita dapat menentukan sin(θ) dan csc(θ).

sehingga diperoleh identitas:

C. Menentukan Sinus dan Tangen jika Diketahui Kosekan

Misal diberikan csc(θ) = p, kita dapat menentukan sin(θ) dan tan(θ).

sehingga diperoleh identitas:

Berikut tabel sinus, tangen, dan kosekan:

3. Hubungan antara Invers Kosinus, Sekan, dan Kotangen

Fungsi-fungsi cos⁻¹, sec⁻¹, dan cot⁻¹, range nya adalah kuadran I dan II.

Untuk p negatif, cos⁻¹(p), sec⁻¹(p), dan cot⁻¹(p) di kuadran II, sedangkan untuk p positif, cos⁻¹(p), sec⁻¹(p), dan cot⁻¹(p) di kuadran I.

A. Menentukan Sekan dan Kotangen jika Diketahui Kosinus

Misal diberikan cos(θ) = p, kita dapat menentukan sec(θ) dan cot(θ).

sehingga diperoleh identitas:

B. Menentukan Kosinus dan Kotangen jika Diketahui Sekan

Misal diberikan sec(θ) = p, kita dapat menentukan cos(θ) dan cot(θ).

sehingga diperoleh identitas:

C. Menentukan Kosinus dan Sekan jika Diketahui Kotangen

Misal diberikan cot(θ) = p, kita dapat menentukan cos(θ) dan sec(θ).

sehingga diperoleh identitas:

Berikut tabel kosinus, sekan, dan kotangen:

3. Identitas Resiprokal

A. Resiprokal dengan Range Sama

Ingat kembali:

sin(x) = 1/csc(x)

csc(x) = 1/sin(x)

cos(x) = 1/sec(x)

sec(x) = 1/cos(x)

Sehingga berlaku:

sin⁻¹(1/p) = csc⁻¹(p)

csc⁻¹(1/p) = sin⁻¹(p)

cos⁻¹(1/p) = sec⁻¹(p)

sec⁻¹(1/p) = cos⁻¹(p)

B. Resiprokal dengan Range Beda

Ingat kembali:

tan(x) = 1/cot(x)

cot(x) = 1/tan(x)

Akan tetapi perlu diketahui bahwa range dari tan⁻¹(x) adalah (–π/2, π/2) dan range dari cot⁻¹(x) adalah (0, π), sehingga diperlukan kehati-hatian dalam identitas resiprokal.

Ingat juga sudut yang berelasi:

tan(π + x) = tan(x), dan cot(π + x) = cot(x)

Rumus ini bisa kita gunakan untuk menyesuaikan range, sehingga:

tan⁻¹(1/p) = cot⁻¹(p), untuk p positif

tan⁻¹(1/p) = cot⁻¹(p) – π, untuk p negatif

cot⁻¹(1/p) = tan⁻¹(p), untuk p positif

cot⁻¹(1/p) = tan⁻¹(p) + π, untuk p negatif

4. Identitas Berlawanan Tanda

Ingat kembali sudut yang berelasi:

sin(–x) = –sin(x)

tan(–x) = –tan(x)

csc(–x) = –csc(x)

cos(π – x) = –cos(x)

sec(π – x) = –sec(x)

cot(π – x) = –cot(x)

Sehingga berlaku:

sin⁻¹(p) + sin⁻¹(–p) = 0

tan⁻¹(p) + tan⁻¹(–p) = 0

csc⁻¹(p) + csc⁻¹(–p) = 0

cos⁻¹(p) + cos⁻¹(–p) = π

sec⁻¹(p) + sec⁻¹(–p) = π

cot⁻¹(p) + cot⁻¹(–p) = π

5. Identitas Komplementer

Ingat kembali sudut yang berelasi:

sin(π/2 – α) = cos(α),    csc(π/2 – α) = sec(α)

cos(π/2 – α) = sin(α),    sec(π/2 – α) = csc(α)

tan(π/2 – α) = cot(α),    cot(π/2 – α) = tan(α)

Sehingga berlaku:

sin⁻¹(p) + cos⁻¹(p) = π/2

sec⁻¹(p) + csc⁻¹(p) = π/2

tan⁻¹(p) + cot⁻¹(p) = π/2

6. Hubungan Antar Fungsi di Kuadran I

Semua fungsi siklometri memiliki range di kuadran I, dimana semua perbandingan trigonometri bernilai positif. Berikut tabel yang berlaku hanya di kuadran I:

Untuk p positif, range fungsi-fungsi siklometri adalah kuadran I, sehingga bisa diperoleh hubungan antar fungsi-fungsi siklometri.

7. Jumlah dan Selisih Fungsi Siklometri di Kuadran I

A. Jumlah dan Selisih Invers Sinus

Diberikan p dan q dengan 0 < p < 1 dan 0 < q < 1. Misal sin⁻¹(p) = α dan sin⁻¹(q) = β, interval untuk α dan β adalah 0 < α < π/2 dan 0 < β < π/2.

• Selisih invers sinus

Selisih α – β ada pada interval 0 – π/2 < α – β < π/2 – 0

– π/2 < α – β < π/2,  sehingga untuk selisih invers sinus range nya adalah range invers sinus

sin⁻¹(p) – sin⁻¹(q) = α – β, ingat kembali rumus sinus selisih sudut

sin(α – β) = sin(α).cos(β) – cos(α).sin(β)

• Jumlah invers sinus
Jumlah α + β ada pada interval 0 + 0 < α + β < π/2 + π/2

0 < α + β < π, sehingga untuk jumlah invers sinus range nya adalah range invers kosinus

sin⁻¹(p) + sin⁻¹(q) = α + β, ingat kembali rumus kosinus jumlah sudut

cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sin(α).sin(β)

B. Jumlah dan Selisih Invers Kosinus

Diberikan p dan q dengan 0 < p < 1 dan 0 < q < 1. Misal cos⁻¹(p) = α dan cos⁻¹(q) = β, interval untuk α dan β adalah 0 < α < π/2 dan 0 < β < π/2.

• Jumlah invers kosinus
Jumlah α + β ada pada interval 0 + 0 < α + β < π/2 + π/2

0 < α + β < π, sehingga untuk jumlah invers kosinus range nya adalah range invers kosinus

cos⁻¹(p) + cos⁻¹(q) = α + β, ingat kembali rumus kosinus jumlah sudut

cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sin(α).sin(β)

• Selisih invers kosinus

Selisih α – β ada pada interval 0 – π/2 < α – β < π/2 – 0

– π/2 < α – β < π/2,  sehingga untuk selisih invers kosinus range nya adalah range invers sinus

cos⁻¹(p) – cos⁻¹(q) = α – β, ingat kembali rumus sinus selisih sudut

sin(α – β) = sin(α).cos(β) – cos(α).sin(β)

AIO jumlah dan selisih invers sinus dan kosinus:

C. Jumlah dan Selisih Invers Tangen

Diberikan p dan q dengan p > 0 dan q > 0. Misal tan⁻¹(p) = α dan tan⁻¹(q) = β, interval untuk α dan β adalah 0 < α < π/2 dan 0 < β < π/2.

• Selisih invers tangen

Selisih α – β ada pada interval 0 – π/2 < α – β < π/2 – 0

– π/2 < α – β < π/2,  sehingga untuk selisih invers tangen range nya adalah range invers tangen

tan⁻¹(p) – tan⁻¹(q) = α – β, ingat kembali rumus tangen selisih sudut

• Jumlah invers tangen
Jumlah α + β ada pada interval 0 + 0 < α + β < π/2 + π/2

0 < α + β < π, sehingga untuk jumlah invers tangen range nya adalah range invers kotangen

tan⁻¹(p) + tan⁻¹(q) = α + β, ingat kembali rumus kotangen jumlah sudut

D. Jumlah dan Selisih Invers Kotangen

Diberikan p dan q dengan p > 0 dan q > 0. Misal cot⁻¹(p) = α dan cot⁻¹(q) = β, interval untuk α dan β adalah 0 < α < π/2 dan 0 < β < π/2.

• Jumlah invers kotangen
Jumlah α + β ada pada interval 0 + 0 < α + β < π/2 + π/2

0 < α + β < π, sehingga untuk jumlah invers kotangen range nya adalah range invers kotangen

cot⁻¹(p) + cot⁻¹(q) = α + β, ingat kembali rumus kotangen jumlah sudut

• Selisih invers kotangen

Selisih α – β ada pada interval 0 – π/2 < α – β < π/2 – 0

– π/2 < α – β < π/2,  sehingga untuk selisih invers kotangen range nya adalah range invers tangen

cot⁻¹(p) – cot⁻¹(q) = α – β, ingat kembali rumus tangen selisih sudut

AIO jumlah dan selisih invers tangen dan kotangen:

E. Jumlah dan Selisih Invers Sekan

Diberikan p dan q dengan p > 1 dan q > 1. Misal sec⁻¹(p) = α dan sec⁻¹(q) = β, interval untuk α dan β adalah 0 < α < π/2 dan 0 < β < π/2.

• Jumlah invers sekan
Jumlah α + β ada pada interval 0 + 0 < α + β < π/2 + π/2

0 < α + β < π, sehingga untuk jumlah invers sekan range nya adalah range invers sekan

sec⁻¹(p) + sec⁻¹(q) = α + β, ingat kembali rumus sekan jumlah sudut

• Selisih invers sekan

Selisih α – β ada pada interval 0 – π/2 < α – β < π/2 – 0

– π/2 < α – β < π/2,  sehingga untuk selisih invers sekan range nya adalah range invers kosekan

sec⁻¹(p) – sec⁻¹(q) = α – β, ingat kembali rumus kosekan selisih sudut

F. Jumlah dan Selisih Invers Kosekan

Diberikan p dan q dengan p > 1 dan q > 1. Misal csc⁻¹(p) = α dan csc⁻¹(q) = β, interval untuk α dan β adalah 0 < α < π/2 dan 0 < β < π/2.

• Selisih invers kosekan

Selisih α – β ada pada interval 0 – π/2 < α – β < π/2 – 0

– π/2 < α – β < π/2,  sehingga untuk selisih invers kosekan range nya adalah range invers kosekan

csc⁻¹(p) – csc⁻¹(q) = α – β, ingat kembali rumus kosekan selisih sudut

• Jumlah invers kosekan
Jumlah α + β ada pada interval 0 + 0 < α + β < π/2 + π/2

0 < α + β < π, sehingga untuk jumlah invers kosekan range nya adalah range invers sekan

csc⁻¹(p) + csc⁻¹(q) = α + β, ingat kembali rumus sekan jumlah sudut

AIO jumlah dan selisih invers sekan dan kosekan:

Contoh Soal

1. Tentukan domain dan range dari fungsi

θ = 3.sin⁻¹(x/4 + 1)

domain:

–1 ≤ x/4 + 1 ≤ 1

–2 ≤ x/4 ≤ 0

–8 ≤ x ≤ 0

domainnya adalah [–8, 0]

range:

3.(–π/2) ≤ θ ≤ 3.(π/2)

–3π/2 ≤ θ ≤ 3π/2

rangenya adalah [–3π/2, 3π/2]

Jadi, domainnya adalah [–8, 0] dan rangenya adalah [–3π/2, 3π/2]

2. Hitunglah cot⁻¹(3) + sin⁻¹(1/√5)

Misal cot⁻¹(3) = α ↔ cot(α) = 3, karena cot(α) positif, kita bisa menentukan sin(α)

sin(α) = 1/√10 → cos(α) = 3/√10

sin(β) = 1/√5 → cos(β) = 2/√5

cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sin(α).sin(β)

= (3/√10).(2/√5) – (1/√10).(1/√5)

= 5/√50

= 1/√2

α + β = cos⁻¹(1/√2) = π/4

3. Hitunglah tan⁻¹(3) + 2.tan⁻¹(½) + 3.tan⁻¹(⅓)

tan⁻¹(3) + 2.tan⁻¹(½) + 3.tan⁻¹(⅓) = tan⁻¹(3) + tan⁻¹(⅓) + 2.tan⁻¹(½) + 2.tan⁻¹(⅓)

= tan⁻¹(3) + tan⁻¹(⅓) + 2[tan⁻¹(½) + tan⁻¹(⅓)]

= π

4. Buktikan bahwa

Bukti:
Perhatikan gambar berikut

sehingga diperoleh:

= 2α
= cos⁻¹(cos(2α))

= cos⁻¹(2.cos²(α) – 1)

= cos⁻¹(1 + x – 1)

= cos⁻¹(x) ∎