Invers Fungsi Trigonometri dan Fungsi Siklometri

1. Invers Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri bersifat periodik, sehingga inversnya memiliki tak hingga peta, sehingga bukanlah fungsi. Invers dari fungsi trigonometri disebut sebagai relasi siklometri.

contoh:

sin(θ) = ½, terdapat tak hingga θ yang memenuhi, yaitu θ = π/6 + 2kπ ∨ θ = 5π/6 + 2kπ, untuk setiap k bilangan bulat.

Agar relasi siklometri ini menjadi fungsi, diperlukan pembatasan range, dengan hasilnya tunggal.

Domain fungsi siklometri adalah range fungsi trigonometri dan range fungsi siklometri adalah domain fungsi trigonometri yang telah dibatasi.

Untuk kasus ini pada kasus fungsi trigonometri, pada kuadran I semua bernilai positif, sehingga kuadran I pasti menjadi domain, tinggal kuadran II atau kuadran IV yang dijadikan domainnya.

2. Fungsi Siklometri

A. Fungsi Invers Sinus

Domain default dari fungsi sinus adalah seluruh bilangan real. Pada kuadran IV nilai fungsi sinus negatif, dan pada kuadran I nilai fungsi sinus positif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [–π/2, π/2], sedangkan range nya adalah y ∈ [–1, 1]. Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = sin(x)

domain: [–π/2, π/2]

range: [–1, 1]

x = f⁻¹(y) = sin⁻¹(y)

domain: [–1, 1]

range: [–π/2, π/2]

B. Fungsi Invers Kosinus

Domain default dari fungsi kosinus adalah seluruh bilangan real. Pada kuadran I nilai fungsi kosinus positif, dan pada kuadran II nilai fungsi kosinus negatif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [0, π], sedangkan range nya adalah y ∈ [–1, 1]. Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = cos(x)

domain: [0, π]

range: [–1, 1]

x = f⁻¹(y) = cos⁻¹(y)

domain: [–1, 1]

range: [0, π]

C. Fungsi Invers Tangen

Domain default dari fungsi tangen adalah seluruh bilangan real kecuali pada (2k + 1)π/2, untuk setiap k bilangan bulat, dinyatakan sebagai:

D_f = {x ∈ R | x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ Z}

Pada kuadran IV nilai fungsi tangen negatif, dan pada kuadran I nilai fungsi tangen positif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ (–π/2, π/2), sedangkan range nya adalah y ∈ (–∞, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = tan(x)

domain: (–π/2, π/2)

range: (–∞, ∞)

x = f⁻¹(y) = tan⁻¹(y)

domain: (–∞, ∞)

range: (–π/2, π/2)

D. Fungsi Invers Kotangen

Domain default dari fungsi kotangen adalah seluruh bilangan real kecuali kπ, untuk setiap k bilangan bulat, dinyatakan sebagai:
D_f = {x ∈ R | x ≠ kπ; k ∈ Z}

Pada kuadran I nilai fungsi kotangen positif, dan pada kuadran II nilai fungsi kotangen negatif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ (0, π), sedangkan range nya adalah y ∈ (–∞, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = cot(x)

domain: (0, π)

range: (–∞, ∞)

x = f⁻¹(y) = cot⁻¹(y)

domain: (–∞, ∞)

range: (0, π)

E. Fungsi Invers Sekan

Domain default dari fungsi sekan adalah seluruh bilangan real kecuali pada (2k + 1)π/2, untuk setiap k bilangan bulat, dinyatakan sebagai:

D_f = {x ∈ R | x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ Z}

Pada kuadran I nilai fungsi sekan positif, dan pada kuadran II nilai fungsi sekan negatif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [0, π/2) ∪ (π/2, π], sedangkan range nya adalah y ∈ (–∞, –1] ∪ [1, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = cos x

domain: [0, π/2) ∪ (π/2, π]

range: (–∞, –1] ∪ [1, ∞)

x = f⁻¹(y) = sec⁻¹(y)

domain: (–∞, –1] ∪ [1, ∞)

range: [0, π/2) ∪ (π/2, π]

F. Fungsi Invers Kosekan

Domain default dari fungsi sinus adalah seluruh bilangan real kecuali kπ, untuk setiap k bilangan bulat, dinyatakan sebagai:
D_f = {x ∈ R | x ≠ kπ; k ∈ Z}

Pada kuadran IV nilai fungsi kosekan negatif, dan pada kuadran I nilai fungsi kosekan positif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [–π/2, 0) ∪ (0, π/2], sedangkan range nya adalah y ∈ (–∞, –1] ∪ [1, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = csc(x)

domain: [–π/2, 0) ∪ (0, π/2]

range: (–∞, –1] ∪ [1, ∞)

x = f⁻¹(y) = csc⁻¹(y)

domain: (–∞, –1] ∪ [1, ∞)

range: [–π/2, 0) ∪ (0, π/2]

Berikut tabel domain dan range untuk fungsi siklometri:

Fungsi	Domain	Range
x = sin⁻¹(y)	[–1, 1]	[–π/2, π/2]
x = cos⁻¹(y)	[–1, 1]	[0, π]
x = tan⁻¹(y)	(–∞, ∞)	(–π/2, π/2)
x = csc⁻¹(y)	(–∞, –1] ∪ [1, ∞)	[–π/2, 0) ∪ (0, π/2]
x = sec⁻¹(y)	(–∞, –1] ∪ [1, ∞)	[0, π/2) ∪ (π/2, π]
x = cot⁻¹(y)	(–∞, ∞)	(0, π)