Logaritma

1. Logaritma

Logaritma merupakan suatu operasi kebalikan dari perpangkatan.

Jika x = aⁿ maka ^alog(x) = n dan jika ^alog(x) = n maka x = aⁿ

Kita juga dapat menotasikan ^alog(x) sebagai logₐ(x), kita bisa menuliskan bilangan pokok di kiri atas maupun kanan bawah.

Hubungan bilangan berpangkat dengan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

^alog(x) = n ⇔ x = aⁿ

Dengan:

^alog(x) dibaca logaritma x untuk bilangan pokok a

a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;

x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0

n = hasil logaritma

Contoh:

²log(8) = 3, karena 8 = 2³

³log(9) = 2, karena 9 = 3²

2. Sifat-Sifat Logaritma

A. Sifat Trivial

• ^alog(a) = 1

• ^alog(1) = 0

hal ini karena a¹ = a dan a⁰ = 1

B. Operasi Sederhana

• Numerus berbentuk perkalian

^alog(xy) = ^alog(x) + ^alog(y)

• Numerus berbentuk pembagian

^alog(x/y) = ^alog(x) – ^alog(y)

• Pembalikan numerus

^alog(y/x) = –^alog(x/y)

• Numerus berbentuk perpangkatan

^alog(xⁿ) = n.^alog(x)

• Bilangan pokok dan numerus masing-masing berpangkat

• Numerus berbentuk akar

• Bertukar tempat

• Kombinasi linear
b.^alog(x) + c.^alog(y) = ^alog(x^b.y^c)

• Aturan rantai

^alog(b).^blog(c) = ^alog(c)

C. Kanselasi

• a^alog(x) = x

• ^alog(a^x) = x

D. Pergantian Bilangan Pokok

• Bilangan pokok bantu

• Pertukaran bilangan pokok dengan numerus

• Bilangan pokok berpangkat

kasus khusus dimana pangkatnya –1:

• Bertukar tempat

E. Sifat-Sifat Lainnya

• Penjumlahan numerus

• Pengurangan numerus

• Perkalian bilangan pokok

• Pembagian bilangan pokok

• Kanselasi

Contoh:

Misal ²log(3) = p dan ²log(7) = q, nyatakan bentuk untuk ⁹⁸log(6) dalam p dan q.

3. Bilangan Pokok Tertentu

Ada bilangan pokok tertentu yang memiliki simbol khusus, diantaranya:

A. Logaritma biner, atau logaritma dengan bilangan pokok 2

²log(x) dapat dinotasikan sebagai lb(x).

contoh: lb(8) = ²log(8) = 3

B. Logaritma natural

^elog(x) dapat dinotasikan sebagai ln(x), dimana e ≈ 2,718281828459.

C. Logaritma Umum

¹⁰log(x) dapat dinotasikan sebagai log(x).

Jika bilangan pokok tidak dituliskan, dianggap bilangan pokoknya adalah 10.

4. Limit Logaritma

a. Limit x menuju 0 dari kanan untuk 0 < a < 1:

b. Limit x menuju tak hingga untuk 0 < a < 1:

c. Limit x menuju 0 dari kanan untuk a > 1:

d. Limit x menuju tak hingga untuk a > 1:

Berikut video tentang logaritma: