Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

1. Persamaan Logaritma Berbentuk ^alog(f(x)) = ^alog(p)

Persamaan logaritma berbentuk ^alog(f(x)) = ^alog(p), dengan a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, dan p > 0 dapat diselesaikan dengan:

f(x) = p

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi ³log(4x + 1) = 2.

³log(4x + 1) = 2

³log(4x + 1) = ³log(9)

4x + 1 = 9

4x = 9 – 1 = 8

x = 2, masukkan ke f(x)

f(2) = 4.2 + 1 = 9 > 0, berarti merupakan solusi.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 2.

2. Persamaan Logaritma Berbentuk ^alog(f(x)) = ^alog(g(x))

Persamaan logaritma berbentuk ^alog(f(x)) = ^alog(g(x)), dengan a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, dan g(x) > 0 dapat diselesaikan dengan:

f(x) = g(x)

Contoh:

Tentukan himpunan solusi dari ²log(x² + 3x + 2) = ²log(x + 5).

²log(x² + 3x + 2) = ²log(x + 5)

x² + 3x + 2 = x + 5

x² + 2x – 3 = 0

(x + 3)(x – 1) = 0

x = –3 ∨ x = 1, masukkan ke f(x) dan g(x)

f(–3) = g(–3) = 2 > 0, berarti merupakan solusi

f(1) = g(1) = 6 > 0, berarti merupakan solusi

Himpunan solusinya adalah {–3, 1}

3. Persamaan Logaritma Berbentuk A.[^alog(f(x))]² + B.^alog(f(x)) + C = 0

Persamaan logaritma berbentuk A.[^alog(f(x))]² + B.^alog(f(x)) + C = 0, dengan a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, dapat diselesaikan dengan memisalkan ^alog(f(x)) sebagai t, sehingga terbentuk persamaan kuadrat.

Contoh:

Tentukan himpunan solusi dari 2.[⁴log(x – 1)]² – 5.⁴log(x – 1) – 3 = 0.

2.[⁴log(x – 1)]² – 5.⁴log(x – 1) – 3 = 0

misal ⁴log(x – 1) = t

2t² – 5t – 3 = 0

(2t + 1)(t – 3) = 0

t = –½ ∨ t = 3

⁴log(x – 1) = –½ ∨ ⁴log(x – 1) = 3

x – 1 = 4^–½ ∨ x – 1 = 4³

x = ½ + 1 ∨ x = 64 + 1

x = 3/2 ∨ x = 65, masukkan ke f(x)

f(3/2) = 3/2 – 1 = ½ > 0, berarti merupakan solusi

f(65) = 65 – 1 = 64 > 0, berarti merupakan solusi

Himpunan solusinya adalah {3/2, 65}

4. Persamaan Logaritma Berbentuk ^h(x)log(f(x)) = ^h(x)log(g(x))

Persamaan logaritma berbentuk ^h(x)log(f(x)) = ^h(x)log(g(x)), dengan h(x) > 0, h(x) ≠ 1, f(x) > 0, dan g(x) > 0 dapat diselesaikan dengan:

f(x) = g(x)

Contoh:

Tentukan x yang memenuhi ^(x-2)log(4x – 8) = ^(x-2)log(2x + 6).

^(x-2)log(4x – 8) = ^(x-2)log(2x + 6)

4x – 8 = 2x + 6

2x = 14

x = 7, masukkan ke f(x), g(x), dan h(x)

f(7) = 4.7 – 8 = 20 > 0, memenuhi

g(7) = 2.7 + 6 = 20 > 0, memenuhi

h(7) = 7 – 2 = 5 ≠ 1 > 0

Nilai x yang memenuhi adalah 7.

5. Persamaan Logaritma Berbentuk ^f(x)log(h(x)) = ^g(x)log(h(x))

Persamaan logaritma berbentuk ^f(x)log(h(x)) = ^g(x)log(h(x)), dengan f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, g(x) ≠ 1, dan h(x) > 0, dapat dicari solusinya pada 2 kondisi:

• f(x) = g(x)

• h(x) = 1

Contoh:

Tentukan himpunan solusi persamaan ^(x+3)log(x² – x – 1) = ⁶log(x² – x – 1).

• f(x) = g(x)

x + 3 = 6

x = 3, masukkan ke f(x), g(x), dan h(x)

f(3) = g(3) = 6 ≠ 1 > 0, memenuhi

h(3) = 3² – 3 – 1 = 5 > 0, memenuhi

• h(x) = 1

x² – x – 1 = 1

x² – x – 2 = 0

(x + 1)(x – 2) = 0

x = –1 ∨ x = 2, masukkan ke f(x) dan g(x)

f(–1) = –1 + 3 = 2 ≠ 1 > 0, memenuhi

g(–1) = 6 ≠ 1 > 0, memenuhi

f(2) = 2 + 3 = 5 ≠ 1 > 0, memenuhi

g(2) = 6 ≠ 1 > 0, memenuhi

Himpunan solusinya adalah {–1, 2, 3}

6. Pertidaksamaan Logaritma

Ingat kembali sifat grafik fungsi logaritma:

a. Jika 0 < a < 1, maka kurva monoton turun.

Dengan kata lain, jika p < q maka a^p > a^q 

b. Jika a > 1, maka kurva monoton naik.

Dengan kata lain, jika p < q maka a^p < a^q 

Berdasarkan hal tersebut, pada pertidaksamaan logaritma berlaku:

• Untuk a > 1, jika f(x) < g(x) maka a^f(x) < a^g(x) 

• Untuk 0 < a < 1, jika f(x) < g(x) maka a^f(x) > a^g(x) 

Contoh:

1. Tentukan penyelesaian 6.(3⁴⁰).²log(x) + 3⁴¹.²log(x) > 3⁴³

kita dapat membagi masing-masing ruas dengan 3⁴⁰

6.²log(x) + 3.²log(x) > 3³

9.²log(x) > 27

²log(x) > 3

karena bilangan pokoknya 2 > 1

x > 2³

x > 8

HP = {x ∈ R | x > 8}

2. Tentukan penyelesaian dari

Solusi:

misal

terbentuk pertidaksamaan kuadrat

tetapi perlu diketahui bahwa numerus harus positif, sehingga:

HP = {x ∈ R | 0 < x < ½ ∨ x > 8}