Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial

1. Persamaan Eksponensial Berbentuk a^f(x) = a^g(x) 

Persamaan eksponensial berbentuk a^f(x) = a^g(x), a > 0 dan a ≠ 1 dapat diselesaikan dengan:

f(x) = g(x)

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi 4^x–2 = 2^3x+1 

kedua ruas belum sama bilangan pokoknya, untuk menyelesaikan perlu disamakan bilangan pokoknya.

(2²)^x–2 = 2^3x+1 

2^2x–4 = 2^3x+1 

2x – 4 = 3x + 1

2x – 3x = 1 + 4

–x = 5

x = –5

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –5.

2. Persamaan Eksponensial Berbentuk a.p^2f(x) + b.p^f(x) + c = 0

Persamaan eksponensial berbentuk a.p^2f(x) + b.p^f(x) + c = 0 dapat diselesaikan dengan memisalkan p^f(x) sebagai t sehingga terbentuk persamaan kuadrat.

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi 3^2x+1 – 4.3^x+1 + 9 = 0

3^2x+1 – 4.3^x+1 + 9 = 0

3.3^2x – 12.3^x + 9 = 0

misal 3^x = t

3t² – 12t + 9 = 0, bagi masing-masing ruas dengan 3

t² – 4t + 3 = 0

(t – 1)(t – 3) = 0

t = 1 ∨ t = 3

3^x = 1 ∨ 3^x = 3

3^x = 3⁰ ∨ 3^x = 3¹

x = 0 ∨ x = 1

Himpunan solusinya adalah {0, 1}

3. Persamaan Eksponensial Berbentuk h(x)^f(x) = h(x)^g(x) 

Persamaan eksponensial berbentuk h(x)^f(x) = h(x)^g(x) dengan f(x), g(x), dan h(x) merupakan fungsi. Solusi dari persamaan h(x)^f(x) = h(x)^g(x) dapat ditentukan pada 4 kondisi:

• f(x) = g(x)

• h(x) = 1

• h(x) = 0 dengan f(x) dan g(x) keduanya positif

• h(x) = –1 dengan (–1)^f(x) = (–1)^g(x) 

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi (5x – 11)^2x-1 = (5x – 11)^x-6 

(i) Untuk f(x) = g(x)

2x – 1 = x – 6

2x – x = –6 + 1

x = –5

(ii) Untuk h(x) = 1

5x – 11 = 1

5x = 12

x = 12/5

(iii) Untuk h(x) = 0

5x – 11 = 0

5x = 11

x = 11/5, masukkan ke f(x) dan g(x)

f(11/5) = 2.(11/5) – 1 = 17/5 > 0

g(11/5) = 11/5 – 6 = –19/5 < 0

karena g(x) < 0, x = 11/5 bukan solusi.

(iv) Untuk h(x) = –1

5x – 11 = –1

5x = 10

x = 2, masukkan ke f(x) dan g(x)

f(2) = 2.2 – 1 = 3

g(2) = 2 – 6 = –4

(–1)^f(2) ≠ (–1)^g(2), sehingga x = 2 bukan solusi

Jadi, himpunan solusinya adalah {–5, 12/5}

4. Persamaan Eksponensial Berbentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x) 

Persamaan eksponensial berbentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x) dengan f(x), g(x), dan h(x) merupakan fungsi. Solusi dari persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x) dapat ditentukan pada 2 kondisi:

• f(x) = g(x)

• h(x) = 0 dengan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi (2x² – 2x – 3)^6-2x = (2 – x²)^6-2x 

(i) Untuk f(x) = g(x)

2x² – 2x – 3 = 2 – x²

3x² – 2x – 5 = 0

(3x – 5)(x + 1) = 0

x = 5/3 ∨ –1

(ii) Untuk h(x) = 0

6 – 2x = 0

x = 3, masukkan ke f(x) dan g(x)

f(3) = 2.3² – 2.3 – 3 = 9 ≠ 0

g(3) = 2 – 3² = –7 ≠ 0

karena f(3) ≠ 0 dan g(3) ≠ 0, x = 3 merupakan solusi

Himpunan solusinya adalah {–1, 5/3, 3}

5. Pertidaksamaan Eksponensial

Ingat kembali sifat grafik fungsi eksponensial:

a. Jika 0 < a < 1, maka kurva monoton turun.

Dengan kata lain, jika p < q maka a^p > a^q 

b. Jika a > 1, maka kurva monoton naik.

Dengan kata lain, jika p < q maka a^p < a^q 

Berdasarkan hal tersebut, pada pertidaksamaan eksponensial berlaku:

• Untuk a > 1, jika f(x) < g(x) maka a^f(x) < a^g(x) 

• Untuk 0 < a < 1, jika f(x) < g(x) maka a^f(x) > a^g(x) 

Contoh:

Tentukan himpunan solusi dari (½)^x²+3 ≥ 4^2x 

(½)^x²+3 ≥ 4^2x 

(½)^x²+3 ≥ (½^-2)^2x 

(½)^x²+3 ≥ (½)^-4x 

karena 0 < a < 1 dan a^f(x) ≥ a^g(x), maka f(x) ≤ g(x)

x² + 3 ≤ –4x

x² + 4x + 3 ≤ 0

(x + 3)(x + 1) ≤ 0

x = –3 ∨ x = –1

Interval	x + 1	x + 3	x2 + 4x + 3
x < –3	–	–	+
–3 < x < –1	–	+	–
x > –1	+	+	+

Karena tandanya "≤", solusinya adalah interval dimana x² + 4x + 3 bernilai 0 atau negatif.

Himpunan solusinya adalah {x | –3 ≤ x ≤ –1}