Persamaan Kuadrat

1. Konsep Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

ax² + bx + c = 0

dimana:

• a, b, dan c adalah bilangan real (nyata)

• a tidak boleh sama dengan 0 (a ≠ 0)

• x adalah variabel (peubah)

• a disebut koefisien dari x²

• b disebut koefisien dari x

• c disebut konstanta atau suku tetap

Berdasarkan nilai koefisien a, b, dan c, persamaan kuadrat dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis:

• Persamaan Kuadrat Biasa:

Jika a = 1, maka persamaannya menjadi x² + bx + c = 0.

• Persamaan Kuadrat Sempurna:

Jika a = 1 dan b = 0, maka persamaannya menjadi x² + c = 0.

• Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap:

Jika a = 1 dan c = 0, maka persamaannya menjadi x² + bx = 0.

• Persamaan Kuadrat Real:

Jika a, b, dan c adalah bilangan real (nyata) dan a ≠ 0, maka persamaan ax² + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat real.

• Persamaan Kuadrat Rasional:

Jika a, b, dan c adalah bilangan rasional dan a ≠ 0, maka persamaan ax² + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional.

2. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

A. Pemfaktoran

Misal diberikan 2x² – 5x – 3 = 0, dapat difaktorkan menjadi:

(2x + 1)(x – 3) = 0

2x = –1 ∨ x = 3

x = –½ ∨ x = 3

Jadi, solusi untuk 2x² – 5x – 3 = 0 adalah x = –½ ∨ x = 3

B. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Misal diberikan x² – 2x – 8 = 0, dapat diubah ke bentuk kuadrat sempurna

x² – 2x + 1 – 9 = 0

x² – 2x + 1 = 9

(x – 1)² = 9

x – 1 = ±3

x = –3 + 1 ∨ x = 3 + 1

x = –2 ∨ x = 4

Jadi, solusi untuk x² – 2x – 8 = 0 adalah x = –2 ∨ x = 4

C. Rumus Al-Khowarizmi (Rumus abc)

Ingat kembali bentuk umum persamaan kuadrat:

ax² + bx + c = 0

Bagaimana cara menentukan solusinya dalam bentuk a, b, dan c?

Mula-mula kita bagi dengan a, menjadi:

x² + (b/a)x + c/a = 0

Ubah ke bentuk kuadrat sempurna

Akarkan masing-masing ruas

Bentuk akhir ini disebut sebagai rumus abc, dimana solusi dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dinyatakan dalam bentuk abc.

3. Diskriminan

Diskriminan dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dilambangkan dengan D dan memiliki bentuk:

D = b² – 4ac

Diskriminan ini sangat berguna untuk menentukan jenis akar-akar dari suatu persamaan kuadrat.

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat Berdasarkan Diskriminan

• Jika D > 0:

Persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda (x₁ ≠ x₂).

• Jika D adalah bilangan kuadrat sempurna:

Kedua akar persamaan kuadrat adalah bilangan rasional.

• Jika D bukan bilangan kuadrat sempurna:

Kedua akar persamaan kuadrat adalah bilangan irasional.

• Jika D = 0:

Persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama atau akar kembar (x₁ = x₂).

• Jika D < 0:

Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akar-akarnya berupa bilangan kompleks)

Contoh:

Tentukan syarat untuk p agar persamaan kuadrat x² + (p + 2)x + 4 = 0 memiliki akar real kembar.

D = (p + 2)² – 4.1.4 = p² + 4p – 12

Agar akar-akarnya kembar, diharuskan D = 0

p² + 4p – 12 = 0

(p + 6)(p – 2) = 0

p = –6 ∨ p = 2

4. Operasi Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Misal suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, diskriminannya D = b² – 4ac, dan akar-akarnya x₁ dan x₂, berikut operasi akar-akarnya:

A. Jumlah Kedua Akar

Jadi, x₁ + x₂ = –b/a
B. Hasil Kali Kedua Akar

Jadi, x₁.x₂ = c/a
C. Selisih Kedua Akar

Selisih ini positif atau negatif tergantung akar mana yang lebih besar, sehingga lebih tepatnya dituliskan:

dengan memutlakkan kedua ruas, persamaan terlihat lebih aman.

5. Lebih Lanjut Operasi Akar-Akar Persamaan Kuadrat

A. Jumlah Kuadrat

B. Selisih Kuadrat

C. Jumlah Kubik

D. Selisih Kubik

E. Jumlah Kuartik

F. Selisih Kuartik

G. Jumlah Resiprokal

6. Hal-Hal Terkait Akar Persamaan Kuadrat

Misal suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, beberapa hal terkait akar-akarnya:

A. Akar-akarnya berkebalikan

Misal suatu persamaan kuadrat dengan x₁ = 1/x₂ ↔ x₂ = 1/x₁ ↔ x₁x₂ = 1

Menurut operasi akar x₁x₂ = c/a sehingga c/a = 1 ↔ c = a.

Jadi, persamaan kuadrat dengan c = a memiliki akar-akar yang berkebalikan.

B. Nol merupakan akarnya

Misal suatu persamaan kuadrat dengan x₁ = 0 ∨ x₂ = 0, berarti x₁x₂ = 0.

Menurut operasi akar x₁x₂ = c/a sehingga c/a = 0 ↔ c = 0.

Jadi, nol merupakan akar dari persamaan kuadrat dengan c = 0.

C. Kedua akarnya bertanda sama

Menurut operasi akar x₁x₂ = c/a

Misal suatu persamaan kuadrat memiliki tanda sama, hasil kali akar-akarnya positif.

c/a > 0

Jadi, persamaan kuadrat dengan c/a > 0 kedua akarnya bertanda sama

D. Kedua akarnya bertanda beda

Menurut operasi akar x₁x₂ = c/a

Misal suatu persamaan kuadrat memiliki tanda beda, hasil kali akar-akarnya negatif.

c/a < 0

Jadi, persamaan kuadrat dengan c/a < 0 kedua akarnya bertanda beda

7. Akar Persekutuan Dua Persamaan Kuadrat

Dua buah persamaan kuadrat memiliki akar persekutuan jika akar-akar dari kedua persamaan kuadrat tersebut ada yang sama.

Misalkan diketahui dua persamaan kuadrat:

(i) x² + x – 6 = 0 memiliki akar-akar x₁ = 2 atau x₂ = –3

(ii) x² + 3x – 10 = 0 memiliki akar-akar x₁ = 2 atau x₂ = –5

Persamaan kuadrat (i) dan (ii) dikatakan memiliki akar persekutuan yaitu 2.

Bentuk umum:

(i) ax² + bx + c = 0

(ii) px² + qx + r = 0

p(i) – a(ii) → (bp – aq)x + cp – ar = 0

x = (ar – cp)/(bp – aq)

rumus ini dapat digunakan untuk dua persamaan kuadrat yang memiliki akar persekutuan.

Contoh:

Persamaan x² – 2x – 4p = 0 dan 2x² – 5x – 6p = 0 memiliki sebuah akar persekutuan. Carilah nilai p dan akar-akar dari persamaan-persamaan kuadrat tersebut.

Misalkan x₁ adalah akar persekutuan dari kedua persamaan kuadrat tersebut. Maka:

x₁² – 2x₁ – 4p = 0 (i)

2x₁² – 5x₁ – 6p = 0 (ii)

2(i) – (ii) → x₁ – 2p = 0

Sehingga, x₁ = 2p.

Karena x₁ = 2p adalah akar dari kedua persamaan, maka kita substitusikan x₁ = 2p ke persamaan (i):

(2p)² – 2(2p) – 4p = 4p² – 4p – 4p = 4p(p – 2) = 0

Sehingga, nilai p = 0 atau p = 2.

• Untuk p = 0:

x² – 2x – 4p = x² – 2x = x(x – 2) = 0, Akar-akarnya adalah x = 0 atau x = 2.

2x² – 5x – 6p = 2x² – 5x = x(2x – 5) = 0, Akar-akarnya adalah x = 0 atau x = 5/2.

• Untuk p = 2:

x² – 2x – 4p = x² – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2) = 0, Akar-akarnya adalah x = 4 atau x = –2.

2x² – 5x – 6p = 2x² – 5x – 12 = (x – 4)(x + 3) = 0, Akar-akarnya adalah x = 4 atau x = –3.

8. Menyusun Persamaan Kuadrat Diberikan Akarnya

Misal diberikan akar-akar persamaan kuadrat adalah x₁ dan x₂, persamaan kuadratnya adalah

(x – x₁)(x – x₂) = 0

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah ½ dan ⅓

(x – ½)(x – ⅓) = 0

x² – (½ + ⅓)x + ½.⅓ = 0

x² – ⅚x + ⅙ = 0, kalikan 6

6x² – 5x + 1 = 0

9. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Diberikan Hubungannya dengan Persamaan Lama

Misal diberikan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dan akar-akarnya adalah x₁ dan x₂.

Akan disusun persamaan kuadrat baru dengan akar baru α dan β dengan hubungan tertentu.

A. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akarnya Kebalikan dari Persamaan Lama

Misal akan dibuat persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya 1/x₁ dan 1/x₂.

(x – 1/x₁)(x – 1/x₂) = 0

x² – (1/x₁ + 1/x₂)x + 1/(x₁x₂) = 0

x² + (b/c)x + a/c = 0, kalikan c

cx² + bx + a = 0

B. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akarnya Dikalikan Konstanta Tertentu

Misal akan dibuat persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya k.x₁ dan k.x₂.

(x – kx₁)(x – kx₂) = 0

x² – k(x₁ + x₂)x + k²x₁x₂ = 0

x² + (kb/a)x + k²c/a = 0, kalikan a

ax² + kbx + k²c = 0

C. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akarnya Ditambah Konstanta Tertentu

Misal akan dibuat persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya x₁ + k dan x₂ + k.

(x – x₁ – k)(x – x₂ – k) = 0

x² – (x₁ + x₂ + 2k)x + (x₁ + k)(x₂ + k) = 0

x² – (–b/a + 2k)x + c/a – kb/a + k² = 0, kalikan a

ax² + (b – 2ak)x + c – kb + k²a = 0

D. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akarnya Dikuadratkan

Misal akan dibuat persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya x₁² dan x₂².

(x – x₁²)(x – x₂²) = 0

x² – (x₁² + x₂²)x + (x₁x₂)² = 0

x² – [(b² – 2ac)/a²]x + c²/a² = 0, kalikan a²

a²x² + (2ac – b²)x + c² = 0

Contoh Soal

1. Diketahui persamaan kuadrat 2x² + 4x + 6 = 0, tentukan nilai x₁³ + x₂³

a = 2, b = 4, c = 6

x₁³ + x₂³ = (–b³ + abc)/a³ = (–4³ + 2.4.6)/2³ = –2

2. Salah satu akar x² – 6x + p = 0 adalah dua kali akar yang lainnya. Hitunglah p

Misal x₁ = 2x₂

(x – 2x₂)(x – x₂) = 0

x² – 3x₂x + 2x₂² = 0

x² – 3x₂x + 2x₂² = x² – 6x + p = 0

x₂ = 6/3 = 2

x₁ = 2x₂ = 2.2 = 4

(x – 4)(x – 2) = 0

x² – 6x + 8 = x² – 6x + p = 0

Jadi, nilai p adalah 8

3. Diketahui x² + (2m – 1)x + m² – 3m – 3 = 0. Carilah harga m agar kedua akarnya real.

D = (2m – 1)² – 4.1.(m² – 3m – 3) = 4m² – 4m + 1 – 4m² + 12m + 12 = 8m + 13

Agar akar-akarnya real, D = 8m + 13 ≥ 0 ↔ m ≥ –13/8