Persamaan Pangkat Tinggi

1. Persamaan Pangkat Tinggi

Persamaan pangkat tinggi dalam x dengan derajat n mempunyai bentuk umum: 

aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = 0, dengan aₙ ≠ 0

Keterangan:

n: Derajat suku banyak, sama dengan pangkat tertingginya

a₀, a₁, a₂, ..., aₙ: Koefisien-koefisien suku banyak

a₀: Konstanta

Misalkan kita memiliki suatu persamaan polinomial:

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = 0  ...(i)

Berdasarkan teorema sisa:

1. Jika f(p) = 0, maka x = p adalah akar dari persamaan f(x) = 0. Sehingga, persamaan (i) dapat ditulis sebagai:

f(x) = (x − p) h(x)

Artinya, (x − p) adalah faktor dari f(x) dan h(x) adalah hasil bagi pembagian f(x) oleh (x − p).

2. Jika f(p₁) = 0, f(p₂) = 0, f(p₃) = 0, ..., f(p₅) = 0, maka x = p₁, x = p₂, x = p₃, ..., x = p₅ adalah akar-akar dari persamaan f(x) = 0. Sehingga, persamaan (i) dapat ditulis sebagai:

f(x) = (x − p₁)(x − p₂)(x − p₃)(x − p₄)(x − p₅).k(x)

Artinya, (x − p₁), (x − p₂), (x − p₃), (x − p₄), dan (x − p₅) adalah faktor-faktor dari f(x) dan k(x) adalah hasil bagi pembagian f(x) oleh perkalian faktor-faktor tersebut.

2. Persamaan Kubik (Pangkat Tiga)

Bentuk umum persamaan pangkat tiga adalah:

ax³ + bx² + cx + d = 0, dengan a ≠ 0

Perhatikan kembali persamaan pangkat tiga di atas, kemudian kita bagi kedua ruas dengan a:

x³ + (b/a)x² + (c/a)x + (d/a) = 0

Misalkan persamaan pangkat tiga tersebut memiliki akar x₁, x₂, dan x₃. Maka persamaan di atas dapat kita faktorkan menjadi:

x³ + (b/a)x² + (c/a)x + (d/a) = (x − x₁)(x − x₂)(x − x₃)

Jika kita kalikan faktor-faktor di ruas kanan dan kemudian kita samakan koefisien dengan ruas kiri, kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut:

a. x₁ + x₂ + x₃ = −b/a

b. x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a

c. x₁x₂x₃ = −d/a

Hubungan-hubungan ini disebut sebagai Rumus Vieta untuk Persamaan Kubik.

Contoh:

Persamaan x³ - 6x² + 11x + p, mempunyai akar x = 1. Hitunglah p dan akar-akar yang lain.

Misalkan akar-akarnya x₁ = 1, x₂, dan x₃. Menurut sifat-sifat akar, dapat kita tulis:

x₁ + x₂ + x₃ = 6 ⇒ x₂ + x₃ = 5 ...(i)

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 11 ⇒ x₂ + x₃ + x₂x₃ = 11 ...(ii)

x₁x₂x₃ = −p, x₂x₃ = 1.x₂x₃ = −p ⇒ x₂x₃ = −p ...(iii)

Dari (i) dan (ii) dapat kita peroleh 5 + x₂x₃ = 11 ⇒ x₂x₃ = 6  ...(iv)

Dari (ii), diperoleh: x₂x₃ = −p ⇒ p = −6

Dari bentuk x₂x₃ = 6 dan x₂ + x₃ = 5 dapat kita peroleh x₂ = 2 dan x₃ = 3.

Jadi p = -6 dan HP = {1, 2, 3}.

3. Persamaan Kuartik (Pangkat Empat)

Bentuk umum persamaan pangkat empat adalah:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, dengan a ≠ 0

Jika kita memiliki persamaan pangkat empat seperti di atas, dan kita tahu bahwa persamaan tersebut memiliki akar x₁, x₂, x₃, dan x₄, maka persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi:

x⁴ + (b/a)x³ + (c/a)x² + (d/a)x + (e/a) = (x − x₁)(x − x₂)(x − x₃)(x − x₄)

Jika kita mengalikan faktor-faktor di ruas kanan dan kemudian kita samakan koefisien dengan ruas kiri, kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut:

a. x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −b/a

b. x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ = c/a

c. x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ + x₂x₃x₄ = −d/a

d. x₁x₂x₃x₄ = e/a

Hubungan-hubungan ini disebut sebagai Rumus Vieta untuk Persamaan Kuartik

Contoh:

Persamaan x⁴ − px³ + 21x² + 4px − 10p = 0 memiliki dua akar kembar dan sepasang akar lainnya saling berlawanan. Tentukan p dan semua akar dari persamaan tersebut.

Misalkan x₁ = x₂ = t dan x₃ = s serta x₄ = −s.

Karena x⁴ − px³ + 21x² + 4px − 10p = 0 maka

a. t + t + s − s = p ⇒ 2t = p  ...(i)

b. t² + ts − ts + ts − ts − s² = 21 ⇒ t² − s² = 21  ...(ii)

c. t²s − t²s − ts² − ts² = −4pt²s² = 2p  ...(iii)

Dari (i) dan (iii) diperoleh s² = 4 sehingga s = 2 atau s = −2

Dari (ii) karena s² = 4 maka t² = 25 sehingga t = 5 ⇒ p = 10 atau t = −5 ⇒ p = −10

Jadi, untuk p = 10 maka persamaannya adalah x³ − 10x² + 21x² + 40x − 100 = 0

Akar persamaan adalah x₁ = x₂ = 5, x₃ = 2, x₄ = −2

untuk p = −10 maka persamaannya adalah x³ + 10x² + 21x² − 40x − 100 = 0

Akar persamaan adalah x₁ = x₂ = −5, x₃ = 2, x₄ = −2

4. Persamaan Berbalikan Setanda

A. Persamaan Pangkat Tinggi Derajat Genap (n = genap)

Dengan syarat koefisien-koefisiennya memiliki pola berikut:

Koefisien pertama (aₙ) sama dengan koefisien terakhir (a₀)

Koefisien kedua dari ujung (aₙ₋₁) sama dengan koefisien kedua dari awal (a₁)

Dan seterusnya, koefisien-koefisien yang berjarak sama dari ujung-ujung persamaan adalah sama.

Contoh:

2x⁴ + 5x³ − 3x² + 5x + 2 = 0

Persamaan di atas memenuhi syarat karena koefisien-koefisiennya berpasangan sama: 2 dan 2, 5 dan 5, −3 dan −3.

Cara mudah untuk menyelesaikan persamaan pangkat tinggi ini adalah dengan membagi tiap ruas dengan x² dan melakukan substitusi dengan u = x + 1/x.

Misalkan f(x) = 2x⁴ + 5x³ − 3x² + 5x + 2 = 0

Membagi kedua ruas dengan x²:

2x² + 5x − 3 + 5/x + 2/x² = 0

Misalkan u = x + 1/x, maka u² = x² + 1/x² + 2.

Persamaan menjadi: 2(u² − 2) + 5u − 3 = 0

2u² + 5u − 7 = 0

(2u + 7)(u − 1) = 0

u = −7/2 ∨ u = 1

Substitusi nilai u ke persamaan u = x + 1/x:

Untuk u = −7/2, maka 2x² + 7x + 2 = 0. Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh x₁ dan x₂.

Untuk u = 1, maka x² − x + 1 = 0. Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh x₃ dan x₄.

Akar−akar dari persamaan 2x⁴ + 5x³ − 3x² + 5x + 2 = 0 adalah:

x₁ = (−7 + √33) / 4

x₂ = (−7 − √33) / 4

x₃ = (1 + i√3) / 2

x₄ = (1 − i√3) / 2

B. Persamaan Pangkat Tinggi Derajat Ganjil (n = ganjil)

Dengan syarat koefisien-koefisiennya memiliki pola yang mirip dengan persamaan derajat genap, tetapi dengan tambahan bahwa koefisien tengahnya sama dengan setengah dari jumlah koefisien pertama dan terakhir.

Sifat Khusus:

Persamaan pangkat tinggi derajat ganjil yang memenuhi syarat di atas selalu memiliki faktor (x + 1) atau dengan kata lain, pasti memiliki akar x = −1.

Contoh:

Tentukan akar dari 3x⁵ − 13x⁴ + 11x³ + 11x² − 13x + 3 = 0.

Misalkan h(x) = 3x⁵ − 13x⁴ + 11x³ + 11x² − 13x + 3 = 0, h(x) termasuk persamaan berbalik jenis 1 dengan derajat ganjil.

Karena h(1) = 3 − 13 + 11 + 11 + 13 + 3 = 0, maka x + 1 faktor dari h(x)

Sehingga h(x) = 3x⁵ − 13x⁴ + 11x³ + 11x² − 13x + 3 = 0

→ 3x⁴ − 16x³ + 27x² − 16x + 3 = 0  ...(dibagi x + 1, persamaan berbalikan setanda derajat genap)

→ 3x² − 16x + 27 − 16/x + 3/x² = 0  ...(dibagi x²)

→ 3(x² + 1/x²) − 16(x + 1/x) + 27 = 0  ...(misal u = x + 1/x, maka u² − 2 = x² + 1/x²)

3(u² − 2) − 16u + 27 = 0

3u² − 16u + 21 = 0

(3u − 7)(u − 3) = 0

u = 7/3 ∨ u = 3

Untuk u = 7/3:

Substitusi nilai u ke persamaan 3x² − 7x + 3 = 0.

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapatkan akar−akarnya:

x₂ = (7 + √(49−36))/6 = (7 + √13)/6

x₃ = (7 − √(49−36))/6 = (7 − √13)/6

Untuk u = 3:

Substitusi nilai u ke persamaan x² − 3x + 1 = 0.

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapatkan akar−akarnya:

x₄ = (3 + √(9−4))/2 = (3 + √5)/2

x₅ = (3 − √(9−4))/2 = (3 − √5)/2

Jadi, akar−akar dari persamaan 3x⁵ − 13x⁴ + 11x³ + 11x² − 13x + 3 = 0 adalah:

x₁ = −1, x₂ = (7 + √13)/6, x₃ = (7 − √13)/6, x₄ = (3 + √5)/2, dan x₅ = (3 − √5)/2

5. Persamaan Berbalikan Berlawanan Tanda

A. Persamaan Pangkat Tinggi Derajat Genap (n = genap)

Koefisien pertama (aₙ) adalah lawan dari koefisien terakhir (a₀), yaitu aₙ = −a₀

Koefisien kedua dari ujung (aₙ₋₁) adalah lawan dari koefisien kedua dari awal (a₁), yaitu aₙ₋₁ = -a₁

Dan seterusnya, koefisien-koefisien yang berjarak sama dari ujung-ujung persamaan adalah lawan satu sama lain.

Persamaan pangkat tinggi derajat genap yang memenuhi syarat di atas memiliki sifat khusus, yaitu memiliki faktor (x + 1) dan (x − 1). Artinya, persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi bentuk (x + 1)(x − 1) dikalikan dengan suatu polinomial lain, dengan kata lain, memiliki akar x = −1 dan x = 1.

Contoh:

Tentukan akar dari 2x⁶ + 3x⁵ − 3x⁴ + 3x² − 3x − 2 = 0.

Misalkan h(x) = 2x⁶ + 3x⁵ − 3x⁴ + 3x² − 3x − 2 = 0, h(x) termasuk persamaan berbalik berlawanan tanda dengan derajat genap.

Karena h(1) = 2 + 3 − 3 + 3 − 3 − 2 = 0, maka x − 1 faktor dari h(x)

Karena h(−1) = 2 − 3 − 3 + 3 + 3 − 2 = 0, maka x + 1 faktor dari h(x)

Maka x² − 1 adalah faktor dari h(x). Kita bagi h(x) dengan x² − 1:

2x⁴ + 3x³ − 3x² + 3x + 2 = 0  ...(dibagi x² − 1, persamaan jenis 1 derajat genap)

2x² + 3x − 1 + 3/x + 2/x² = 0  ...(dibagi x²)

2(x² + 1/x²) + 3(x + 1/x) − 1 = 0  ...(misal u = x + 1/x, maka u² − 2 = x² + 1/x²)

2(u² − 2) + 3u − 1 = 0

2u² + 3u − 5 = 0

(2u + 5)(u − 1) = 0

u = −5/2 ∨ u = 1

Untuk u = −5/2, maka 2x² + 5x + 2 = 0 sehingga x₃, x₄ = (−5 ± √(25 − 16))/4 = (−7 ± √9)/4

Untuk u = 1, maka x² − x + 1 = 0 sehingga x₅, x₆ = (1 ± √(1 − 4))/2 = (1 ± i√3)/2

Jadi, akar dari persamaan 2x⁶ + 3x⁵ − 3x⁴ + 3x² − 3x − 2 = 0 adalah

x₁ = 1, x₂ = −1, x₃ = −5/2, x₄ = −1/2, x₅ = (1 + i√3)/2 dan x₆ = (1 − i√3)/2

B. Persamaan Pangkat Tinggi Derajat Ganjil (n = ganjil)

Koefisien pertama (aₙ) adalah lawan dari koefisien terakhir (a₀), yaitu aₙ = −a₀

Koefisien kedua dari ujung (aₙ₋₁) adalah lawan dari koefisien kedua dari awal (a₁), yaitu aₙ₋₁ = −a₁

Dan seterusnya, koefisien-koefisien yang berjarak sama dari ujung-ujung persamaan adalah lawan satu sama lain, hingga koefisien tengah (jika ada) adalah setengah dari selisih koefisien pertama dan terakhir.

Persamaan pangkat tinggi derajat ganjil yang memenuhi syarat di atas memiliki sifat khusus, yaitu memiliki faktor (x − 1). Artinya, persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi bentuk (x − 1) dikalikan dengan suatu polinomial lain, dengan kata lain, memiliki akar x = 1.

6. Substitusi Persamaan Kuadrat

Bentuk umumnya au² + bu + c, dengan u fungsi polinom atau fungsi rasional.

Terkadang kita bisa melakukan substitusi sehingga terbentuk persamaan kuadrat.

Contoh:

Tentukan akar dari persamaan berikut ini.

x⁴ − 8x³ +15x² + 4x − 20 = 0

(x² − 4x + 3)² − 7(x² − 4x + 3) − 8 = 0

Misalkan x² − 4x + 3 = p

Maka (x² − 4x + 3)² − 7(x² − 4x + 3) − 8 = 0

↔ p² − 7p − 8 = 0

↔ (p − 8)(p + 1) = 0, sehingga p = 8 atau p = −1

Untuk p = 8 maka

x² − 4x + 3 = 8 ↔ x² − 4x − 5 = 0

Sehingga diperoleh x₁ = 5, x₂ = −1

Untuk p = −1 maka

x² − 4x + 3 = −1 ↔ x² − 4x + 4 = 0

Sehingga diperoleh x₃ = 2, x₄ = 2

Jadi, akar dari persamaan (x² − 4x + 3)² − 7(x² − 4x + 3) − 8 = 0 adalah

x₁ = 5, x₂ = −1, x₃ = 2, dan x₄ = 2