Pertidaksamaan Kuadrat

1. Apa itu Pertidaksamaan?

Pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang memuat tanda kurang dari "<", lebih dari ">", kurang dari atau sama dengan " ≤ ", atau lebih dari atau sama dengan " ≥ ".

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua.

2. Konsep Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c > 0, atau ax² + bx + c ≥ 0

Dengan:

a, b, c ∈ R (a, b, dan c adalah bilangan real)

a ≠ 0 (a tidak boleh sama dengan nol)

x adalah variabel (peubah)

Keterangan:

a adalah koefisien dari x²

b adalah koefisien dari x

c adalah konstanta atau suku tetap

3. Sifat Dasar Pertidaksamaan Kuadrat

A. Jika ditambah atau dikurangi di masing-masing ruas, tanda tidak berubah

Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika menambahkan atau mengurangkan suatu pertidaksamaan dengan bilangan atau suatu ekspresi matematika tertentu.

Jika a > b maka a + c > b + c ; a – c > b – c

Jika a < b maka a + c < b + c ; a – c < b – c

B. Jika dikali atau dibagi di masing-masing ruas dengan bilangan positif, tanda tidak berubah

Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika mengalikan atau membaginya dengan bilangan positif.

Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc dan a/c > b/c

C. Jika dikali atau dibagi di masing-masing ruas dengan bilangan negatif, tanda berbalik

Tanda pertidaksamaan akan berubah atau berbalik jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif.

Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc dan a/c < b/c

4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Garis Bilangan

Langkah-langkahnya adalah:

• Buat ruas kanan menjadi 0

• Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat

• Letakkan pada garis bilangan

• Tentukan daerah dimana ekspresi kuadrat tersebut bernilai positif dan negatif

• Untuk tanda "<", penyelesaiannya adalah daerah dimana ekspresi bernilai negatif

• Untuk tanda ">", penyelesaiannya adalah daerah dimana ekspresi bernilai positif

Contoh:

x² + 6 ≥ 5x

x² – 5x + 6 ≥ 0

(x – 2)(x – 3) = 0

x = 2 ∨ x = 3

• Buat garis bilangan:

• Tentukan daerah dimana ekspresi bernilai positif dan negatif

Interval	x – 2	x – 3	(x – 2)(x – 3)
x < 2	–	–	+
2 < x < 3	–	+	–
x > 3	+	+	+

• Tandai garis bilangan

• Karena tanda pertidaksamaannya adalah "≥", penyelesaiannya adalah daerah (+), juga pembuat nol
HP = {x ∈ R | x ≤ 2 ∨ x ≥ 3}

5. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Sketsa Grafik

Menggambar sketsa grafik y = ax² + bx + c:

• Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x (y = 0):

D = 0: Grafik memotong sumbu x di satu titik.

D > 0: Grafik memotong sumbu x di dua titik.

D < 0: Grafik tidak memotong sumbu x.

• Menentukan grafik menghadap ke atas atau ke bawah dari nilai a:

a < 0: Grafik menghadap ke bawah

a > 0: Grafik menghadap ke atas

• Perhatikan kapan grafik di atas sumbu x dan kapan di bawah sumbu x

Untuk tanda "<", penyelesaiannya adalah daerah dimana grafik di bawah sumbu x

Untuk tanda ">", penyelesaiannya adalah daerah dimana grafik di atas sumbu x

Contoh:

Diberikan pertidaksamaan kuadrat x² – 5x + 6 ≥ 0.

• Menentukan titik potong grafik y = x² – 5x + 6 pada sumbu x:

y = x² – 5x + 6

• Untuk mencari titik potong dengan sumbu x, kita substitusikan y = 0:

0 = x² – 5x + 6

Kemudian kita faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

0 = (x – 3)(x – 2)

Dari faktorisasi di atas, kita dapatkan nilai x:

x = 2 atau x = 3

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (3, 0).

• Menentukan arah parabola:

Karena koefisien x² (yaitu a) bernilai positif (a = 1), maka parabola terbuka ke atas.

• Sketsa grafik

Untuk pertidaksamaan x² – 5x + 6 ≥ 0, kita mencari daerah pada grafik yang bernilai positif atau nol (di atas sumbu x).

Berdasarkan sketsa grafik, daerah yang memenuhi adalah:

Semua nilai x yang kurang dari atau sama dengan 2 (x ≤ 2)

Semua nilai x yang lebih dari atau sama dengan 3 (x ≥ 3)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

Hp = {x | x ≤ 2 atau x ≥ 3, x ∈ R}

6. Merancang Model Matematika

Jono memiliki perpustakaan pribadi berbentuk persegipanjang dengan lebar kurang 3m daripada panjangnya. Jika luas ruangan perpustakaan tersebut lebih dari 10 m², maka panjangnya adalah …

Dengan menggunakan rumus luas persegi panjang

L = p × l

Misalkan panjangnya x, berarti lebarnya x – 3 

p = x, l = x – 3 

sehingga luasnya adalah sebagai berikut:

x(x – 3) > 10 ⇔ x² – 3 x – 10 > 0 ⇔(x + 2)(x – 5) > 0

Didapat x = –2 (TM) dan x = 5 sebagai titik pemecah. Karena panjang tidak mungkin negatif, hanya x = 5 yang memenuhi sebagai titik pemecah, panjangnya lebih dari 5m.

7. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat

Sistem pertidaksamaan kuadrat adalah suatu sistem pertidaksamaan yang terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk umum:

y ≥ ax² + bx + c

y ≤ px² + qx + r

penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel bentuk kuadrat kuadrat adalah semua himpunan (x, y) yang memenuhi semua pertidaksamaan. apabila x dan y adalah bilangan real maka ada tak hingga solusi yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaan.

langkah-langkah penyelesaian

1. Menentukan daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan

2. Menentukan irisan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan

Contoh:

y ≥ x² – x – 2

y ≤ –2x² + x + 1