Ruang Probabilitas dan Variabel Random

1. Ruang Probabilitas

Struktur matematika yang dikenal sebagai Ruang Probabilitas diperlukan sebagai landasan untuk operasi matematika dari fenomena acak. Struktur ini digambarkan sebagai (Ω, A, P), di mana: 

Ω adalah ruang sampel, 

A adalah σ-field (koleksi himpunan bagian dari Ω), dan 

P adalah probabilitas.

2. Variabel Random

Dalam ruang probabilitas (Ω, A, P), variabel random yang ditunjukkan dengan nama X atau X(.) adalah fungsi yang memiliki domain Ω dan kodomain himpunan bagian dari bilangan riil sehingga untuk setiap bilangan riil r dipenuhi: Ar = {ω| X(ω) ≤ r} ∈ A 

Terdapat suatu padanan yang memetakan setiap titik sampel dengan suatu bilangan real. Variabel Random adalah suatu fungsi yang memetakan setiap titik sampel dalam ruang sampel (Ω) dengan suatu bilangan real R anggota ruang variabel random (Ωx ⊆ R)

Variabel random dinyatakan dengan huruf kapital (misal X, Y, dst) merupakan fungsi bernilai real dan nilai dari variabel random (nilai fungsi) dinyatakan dengan huruf kecil (misal x, y, dst).

3. Ruang Variabel Random

Ruang dari variabel random X adalah range dari X yaitu :

Ωx  = {x | x = X(ω) ; ω ∈ Ω}

VR Diskrit : anggota ruang VR adalah finite atau countably infinite .    

VR Kontinu : anggota ruang VR adalah uncountably infinite.

Contoh:

Tiga keping koin dilempar bersamaan, misal X adalah banyaknya muncul gambar. Tunjukkan bahwa X merupakan variabel random, tentukan ruang dari X dan P(X = x) untuk setiap x di Ωx.

• Tunjukkan bahwa X merupakan variabel random

Ruang sampel Ω = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

σ-field: A = {{AAA}, {AAG}, ..., {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}, ∅}

X = banyaknya muncul gambar

Untuk menunjukkan X variable random, harus ditunjukkan bahwa untuk setiap bilangan riil r berlaku 

Ar = {ω| X(ω) ≤ r} ∈ A 

r < 0:

Ar = {ω| X(ω) ≤ r} = ∅ ∈ A 

0 ≤ r < 1:

Ar = {ω| X(ω) ≤ r} = {AAA} ∈ A 

1 ≤ r < 2:

Ar = {ω| X(ω) ≤ r} = {AAA, AAG, AGA, GAA} ∈ A 

2 ≤ r < 3:

Ar = {ω| X(ω) ≤ r} = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA} ∈ A 

r ≥ 3:

Ar = {ω| X(ω) ≤ r} = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} ∈ A 

Karena untuk setiap bilangan riil diperoleh Ar = {ω| X(ω) ≤ r} ∈ A maka X merupakan variabel random.

• Tentukan ruang dari X

• Tentukan P(X = x) untuk setiap x di Ωx

P(X = x) untuk setiap x di Ωx

P(X = 0) = ⅛

P(X = 1) = ⅜

P(X = 2) = ⅜

P(X = 3) = ⅛