Suku Banyak
1. Suku Banyak (Polinomial)
Suku banyak adalah bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, konstanta, dan eksponen (pangkat). Bentuk umum suku banyak berderajat n adalah:
f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀ dengan aₙ ≠ 0
Keterangan:
n: Derajat suku banyak, sama dengan pangkat tertingginya
a₀, a₁, a₂, ..., aₙ: Koefisien-koefisien suku banyak
a₀: Konstanta
2. Operasi Suku Banyak
A. Penjumlahan dan Pengurangan
Menjumlahkan atau mengurangkan antarkoefisien suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama.
Contoh:
Diberikan p(x) = 6x³ − 8x² + 7x + 10 dan q(x) = 10x² + 11x − 13. Tentukan jumlah p(x) dan q(x).
p(x) + q(x) = (6x³ − 8x² + 7x + 10) + (10x² + 11x − 13)
= 6x³ + (−8x² + 10x²) + (7x + 11x) + (10 − 13) // Mengelompokkan suku-suku sejenis
= 6x³ + (−8 + 10)x² + (7 + 11)x + (−3) // Menggabungkan koefisien suku sejenis
= 6x³ + 2x² + 18x − 3
Jadi, jumlah p(x) dan q(x) adalah 6x³ + 2x² + 18x − 3.
B. Perkalian
Mengalikan antarkoefisien suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama dengan menggunakan metode distributif.
Contoh:
Diberikan f(x) = x³ + x² − 3x + 1 dan g(x) = x³ − 2x² + 2x − 1. Tentukan hasil perkalian f(x) dan g(x), yaitu f(x) · g(x)
f(x) · g(x) = (x³ + x² − 3x + 1) · (x³ − 2x² + 2x − 1)
= x³(x³ − 2x² + 2x − 1) + x²(x³ − 2x² + 2x − 1) − 3x(x³ − 2x² + 2x − 1) + 1(x³ − 2x² + 2x − 1)
= x⁶ − 2x⁵ + 2x⁴ − x³ + x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − x² − 3x⁴ + 6x³ − 6x² + 3x + x³ − 2x² + 2x − 1
= x⁶ + (−2x⁵ + x⁵) + (2x⁴ − 2x⁴ − 3x⁴) + (−x³ + 2x³ + 6x³ + x³) + (−x² − 6x² − 2x²) + (3x + 2x) − 1
= x⁶ + (−2 − 1)x⁵ + (2 − 2 − 3)x⁴ + (−1 + 2 + 6 + 1)x³ + (−1 − 6 − 2)x² + (3 + 2)x − 1
= x⁶ − 3x⁵ − 3x⁴ + 8x³ − 9x² + 5x − 1
Jadi, f(x) · g(x) = x⁶ − 3x⁵ − 3x⁴ + 8x³ − 9x² + 5x − 1
3. Menentukan Nilai Suku Banyak
A. Substitusi
Nilai suku banyak
f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀
untuk x = k adalah
f(k) = aₙkⁿ + aₙ₋₁kⁿ⁻¹ + aₙ₋₂kⁿ⁻² + ... + a₂k² + a₁k + a₀
Contoh:
Nilai suku banyak f(x) = x³ + x² − 3x + 1 untuk x = 2 adalah:
f(2) = 2³ + 2² − 3.2 + 1 = 7
B. Skema Horner
Misalkan kita memiliki suku banyak:
p(x) = ax³ + bx² + cx + d
Untuk mencari nilai p(x) ketika x = k, kita dapat menggunakan metode skema Horner.
Cara Kerja Skema Horner:
Buat Tabel:
Baris 1: Tuliskan koefisien-koefisien suku banyak p(x) secara berurutan, mulai dari koefisien pangkat tertinggi (a) hingga koefisien konstanta (d). Jika ada suku yang pangkatnya tidak berurutan, isi dengan koefisien 0.
Baris 2: Baris ini akan diisi dengan hasil perkalian dan penjumlahan.
Baris 3: Baris ini akan berisi hasil penjumlahan yang akan menjadi nilai akhir.
Isi Tabel:
Kolom 1:
Baris 3: Salin koefisien pangkat tertinggi (a) dari baris 1.
Kolom berikutnya:
Baris 2: Kalikan nilai di baris 3 kolom sebelumnya dengan nilai k.
Baris 3: Jumlahkan nilai di baris 1 kolom saat ini dengan nilai di baris 2 kolom saat ini.
Ulangi langkah sebelumnya untuk kolom-kolom berikutnya sampai kolom terakhir.
Hasil Akhir:
Nilai yang terdapat pada baris 3 kolom terakhir adalah nilai p(x) ketika x = k, atau dapat ditulis sebagai p(k).
Ketika kita membagi f(x) dengan p(x), kita akan mendapatkan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x). Hubungan antara f(x), p(x), h(x), dan s(x) dapat dituliskan sebagai berikut:
f(x) = p(x).h(x) + s(x)
Keterangan:
f(x): Suku banyak asal
p(x): Pembagi
h(x): Hasil bagi
s(x): Sisa pembagian
Jika kita tahu derajat dari f(x) dan p(x), kita juga bisa menentukan derajat dari h(x) dan s(x). Misalkan f(x) memiliki derajat n dan p(x) memiliki derajat m, dengan m ≤ n (artinya, derajat pembagi lebih kecil sama dengan derajat suku banyak yang dibagi), maka:
h(x): Hasil bagi akan memiliki derajat (n − m)
s(x): Sisa pembagian akan memiliki derajat maksimum (m − 1)
A. Pembagian Bersusun
Contoh:
Misal f(x) = x³ + 3x² − 5x + 3 dibagi dengan p(x) = x + 2:
h(x) = x² + x − 7 dan s(x) = 17
Hasil bagi x³ + 3x² − 5x + 3 dengan x + 2 adalah x² + x − 7 dan bersisa 17, sehingga dapat dituliskan:
x³ + 3x² − 5x + 3 = (x + 2)(x² + x − 7) + 17
B. Pembagian Horner
Cara pembagian Horner hampir sama dengan skema Horner.
Misal f(x) = x³ + 3x² − 5x + 3 dibagi dengan p(x) = x + 2:
h(x) = x² + x − 7 dan s(x) = 17
Hasil bagi x³ + 3x² − 5x + 3 dengan x + 2 adalah x² + x − 7 dan bersisa 17, sehingga dapat dituliskan:
x³ + 3x² − 5x + 3 = (x + 2)(x² + x − 7) + 17
C. Pembagian dengan Metode Koefisien Tak Tentu
Misal f(x) = x³ + 3x² − 5x + 3 dibagi dengan p(x) = x + 2
derajat f(x) adalah 3 dan derajat p(x) adalah 1, sehingga derajat h(x) adalah 3 − 1 = 2
sedangkan derajat s(x) kurang dari derajat h(x), paling banyak berderajat 1
Misal h(x) = ax² + bx + c dan s(x) = d
f(x) = p(x).h(x) + s(x)
x³ + 3x² − 5x + 3 = (x + 2)(ax² + bx + c) + d = ax³ + (2a + b)x² + (2b + c)x + 2c + d
diperoleh persamaan:
a = 1 (i)
2a + b = 3 (ii)
2b + c = −5 (iii)
2c + d = 3 (iv)
Masukkan (i) ke (ii)
2.1 + b = 3 ↔ b = 1, masukkan ke (iii)
2.1 + c = −5 ↔ c = −7, masukkan ke (iv)
2.(−7) + d = 3 ↔ d = 17
Jadi, h(x) = x² + x − 7 dan s(x) = 17
5. Pembagian Dengan Hasil Kali Dua Fungsi Linear
Pembagian dengan (x – a)(x – b) bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai
F(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)
berarti:
F(a) = S(a) dan F(b) = S(b)
Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q
Contoh:
1. Suku banyak x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6 dibagi x² – x – 2, sisanya adalah...
Bentuk pembagian ditulis:
F(x) = (x² – x – 2)H(x) + S(x)
Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1, misal: sisanya px + q
sehingga
• bentuk pembagian ditulis:
x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6 = (x² – x – 2)H(x) + px + q
x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6 = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q
• Dibagi (x + 1) bersisa F(–1), dan dibagi (x – 2) bersisa F(2)
F(–1) = (–1)⁴ – 3(–1)³ – 5(–1)² – 1 – 6 = –8
F(2) = 2⁴ – 3.2³ – 5.2² – 2 – 6 = –32
F(x) = px + q
F(–1) = –p + q = –8 (i)
P(2) = 2p + q = –32 (ii)
Selesaikan SPL dua variabel ini dan diperoleh p = –8 dan q = –16
Jadi, sisa pembagiannya adalah –8x – 16
2. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa –13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x² – x – 6 bersisa...
Misal sisanya: S(x) = ax + b
Sisa pembagian oleh x + 2 adalah –13, sehingga S(–2) = –13 → –2x + b = –13 (i)
Sisa pembagian oleh x – 3 adalah 7, sehingga S(3) = 7 → 3x + b = 7 (ii)
Selesaikan SPL dua variabel ini dan diperoleh a = 4 dan b = –5
Jadi, sisa pembagiannya adalah 4x – 5
Komentar
Posting Komentar